高中奥数 2021-12-07

2021-12-07-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 空间向量 P040 例题1）

在三棱锥中,平面平面,,A,,.

(1)求线段的长度;

(2)求二面角的大小;

(3)求异面直线和所成的角.

分析与解

如图,建立空间直角坐标系,则,,,,.

图1

(1).

(2),,.

因为,,所以 平面,故平面 平面.

所以二面角的大小为.

(3),,

所以异面直线和所成的角为.

2021-12-07-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 空间向量 P040 例题2）

如图所示,在长方体中,点、分别在、上,且,.

图2

(1)证明: 平面;

(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角),在,,时,求平面与平面所成角的大小(用反三角函数值表示);

(3)条件同(2),计算和平面所成的角.

分析与解

(1)如图所示建立空间直角坐标系.

设,,,,,则,,,,,.

所以,,,,.

因为,即,即,所以.

因为,即,即,所以.

因为,所以.

因为,所以.

所以平面,证毕.

(2)在空间中有定理若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角的大小相等.

设,,平面,,,,则

所以,而平面,由 平面,设和所在直线所成的角为,则

所以平面与平面所成的角为.

(3)与平面垂直的向量称为平面的法向量,要求直线与平面所成角的大小只要求出直线与平面法向量所成的那个不超过的角,然后求出其余角即可.特别地当直线与平面的法向量平行时,直线与该平面垂直.

显然为平面的法向量,且,所以

由知,和平面所成的角为.