跳表 （图解）

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1.1 跳表图解

跳表，是基于链表实现的一种类似“二分”的算法。它可以快速的实现增，删，改，查操作。

我们先来看一下单向链表如何实现查找：

链表，相信大家都不陌生，维护一个有序的链表是一件非常简单的事情，我们都知道，在一个有序的链表里面，查找某个数据的时候需要的时间复杂度为O(n).

怎么提高查询效率呢？如果我们给该单链表加一级索引，将会改善查询效率。

如图所示，当我们每隔一个节点就提取出来一个元素到上一层，把这一层称作索引，上层的索引节点都加上一个down指针指向原始节点。

当我们查找元素11的时候，单链表需要比较6次，而加过索引的两级链表只需要比较4次。当数据量增大到一定程度的时候，效率将会有显著的提升。

如果我们再加多几级索引的话，效率将会进一步提升。这种链表加多级索引的结构，就叫做跳表。

跳表的查询时间复杂度可以达到O(logn)

1.2 为什么Redis的有序集合SortedSet要使用跳表实现

跳表就是这样的一种数据结构，结点是跳过一部分的，从而加快了查询的速度。跳表跟红黑树又有什么差别呢？既然两者的算法复杂度差不多，为什么Redis的有序集合SortedSet要使用跳表实现，而不使用红黑树呢？

Redis 中的有序集合是通过跳表来实现的，严格点讲，其实还用到了散列表。

如果你去查看 Redis 的开发手册，就会发现，Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个：

• 插入一个数据；

• 删除一个数据；

• 查找一个数据；

• 按照区间查找数据（比如查找值在 [100, 356] 之间的数据）；

• 迭代输出有序序列。

其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，红黑树也可以完成，时间复杂度跟跳表是一样的。但是，按照区间来查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高。对于按照区间查找数据这个操作，跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效。

当然，Redis之所以用跳表来实现有序集合，还有其他原因，比如，跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单，但比起红黑树来说还是好懂、好写多了，而简单就意味着可读性好，不容易出错。还有，跳表更加灵活，它可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗

1.3 跳表的查询操作

假如我们要查询11，那么我们从最上层出发，发现下一个是5，再下一个是13，已经大于11，所以进入下一层，下一层的一个是9，查找下一个，下一个又是13，再次进入下一层。最终找到11。

是不是非常的简单？我们可以把查找的过程总结为一条二元表达式（下一个是否大于结果？下一个：下一层）。理解跳表的查询过程非常重要，试试看查询其他数字，只要你理解了查询，后面两种都非常简单。

1.4 跳表的插入

接下来看插入，我们先看理想的跳跃表结构，L2层的元素个数是L1层元素个数的1/2，L3层的元素个数是L2层的元素个数的1/2，以此类推。从这里，我们可以想到，只要在插入时尽量保证上一层的元素个数是下一层元素的1/2，我们的跳跃表就能成为理想的跳跃表。那么怎么样才能在插入时保证上一层元素个数是下一层元素个数的1/2呢？很简单，抛硬币就能解决了！

假设元素X要插入跳跃表，很显然，L1层肯定要插入X。那么L2层要不要插入X呢？我们希望上层元素个数是下层元素个数的1/2，所以我们有1/2的概率希望X插入L2层，那么抛一下硬币吧，正面就插入，反面就不插入。那么L3到底要不要插入X呢？相对于L2层，我们还是希望1/2的概率插入，那么继续抛硬币吧！以此类推，元素X插入第n层的概率是(1/2)的n次。这样，我们能在跳跃表中插入一个元素了。

跳跃表的初试状态如下图，表中没有一个元素：

如果我们要插入元素2，首先是在底部插入元素2，如下图：

然后我们抛硬币，结果是正面，那么我们要将2插入到L2层，如下图

继续抛硬币，结果是反面，那么元素2的插入操作就停止了，插入后的表结构就是上图所示。接下来，我们插入一个新元素33，跟元素2的插入一样，现在L1层插入33，如下图：

然后抛硬币，结果是反面，那么元素33的插入操作就结束了，插入后的表结构就是上图所示。接下来，我们插入一个新元素55，首先在L1插入55，插入后如下图：

然后抛硬币，结果是正面，那么L2层需要插入55，如下图：

继续抛硬币，结果又是正面，那么L3层需要插入55，如下图：

继续抛硬币，结果又是正面，那么要在L4插入55，结果如下图：

继续抛硬币，结果是反面，那么55的插入结束，表结构就如上图所示。

当然，不可能无限的进行层数增长。除了根据一种随机算法得到的层数之外，为了不让层数过大，还会有一个最大层数MAX_LEVEL限制，随机算法生成的层数不得大于该值。

以此类推，我们插入剩余的元素。当然因为规模小，结果很可能不是一个理想的跳跃表。但是如果元素个数n的规模很大，学过概率论的同学都知道，最终的表结构肯定非常接近于理想跳跃表。

当然，这样的分析在感性上是很直接的，但是时间复杂度的证明实在复杂，在此我就不深究了，感兴趣的可以去看关于跳跃表的paper。

1.5 跳表的删除

再讨论删除，删除操作没什么讲的，直接删除元素，然后调整一下删除元素后的指针即可。跟普通的链表删除操作完全一样。

插入和删除的时间复杂度就是查询元素插入位置的时间复杂度，这不难理解，所以是O(logn)。

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