机理模型与平衡原理

数学模型实质上就是使用数学的语言，对简化了的实际问题进行一个近似的描述。

一、机理模型

对于一个实际问题，如果在建模过程中，建模者的注意力集中在使用数学的语言描述问题中的主要因素之间的相互联系和相互制约的关系，这样构建出来的模型一般称为机理模型。

这类模型描述的是实际问题中主要因素之间相互作用的机理，因此它可以广泛的容纳各门类的数学知识和方法，通过这类模型所进行的数学分析也往往能够使人们对所研究的实际问题从作用机理上得到深入的认识。

机理模型是数学在相关学科研究中应用相当广泛的一类模型。

二、适当“假设”

由于我们所面对的实际问题往往比较复杂，针对实际问题组建机理模型时，需要给出适当的“假设”，将所研究的问题进行简化。

“假设”就是针对问题进行去粗取精、删繁就简的手段。提出“假设”的过程就是对实际问题进行抽象、简化的过程。

“假设”的内容，决定了对实际问题简化的程度，对模型的可操作性和与实际情况的一致性有很大的影响。“假设”过强，组建的模型一般会比较简单，便于分析，但是模型所得到的结论可能会与实际情况有较大的出入，从而降低了它的实用程度。“假设”较弱，模型与实际情况的一致性会有较大的改善，但所得到的复杂模型将为理论分析设置很大的障碍。因此，如何针对实际问题的情况以及研究的目的给出适当的假设，对于数学建模来说是至关重要的，也是数学建模中的艺术。

三、平衡原理

在分析主要因素和相互作用的激励的过程中，注意发掘实际问题中的平衡关系是机理模型组建过程中的一个关键问题。

“平衡”是现实生活中随处可见的一个现象，如物理中的能量守恒定律以及静力学中力的平衡等，都是在描述物理现象中的一些平衡关系。又如，一段时间内或一定范围内物质的变化,我们会发现这段时间的物质的改变量与它的增加量和减少量之间也处于平衡的状态，我们称这种平衡规律为物质平衡。

所谓平衡原理，是指自然界的任何现象在其变化过程中一定受到某种平衡关系的支配，这类模型所描述的因素之间的相互联系和相互制约的关系，实质上就是实际问题中的平衡关系，因此，平衡原理的应用是机理模型组建的关键步骤之一。

四、发掘平衡关系

有些问题中的平衡关系是明显的，明确地在问题中清楚地表达出来，但在多数问题中这个关系往往隐藏在问题的背后需要经过简化之后，才能逐渐明确出来。

平衡关系的发掘，往往与假设的提出是交错进行的。在发掘平衡关系时，化整为零，以直代曲是非常重要的手段。

例如研究系统的动态行为时，如果从整个系统来考虑往往无从下手，我们可以先考虑局部考虑一个小的时间区间内的动态，在这个时间区间内有关量的变化率就可以近似为常数，这样就可以简化问题。

列出平衡关系经过分析处理得到模型，所有这些将有赖于建模者对问题背景知识的深入了解，以及对实际问题综合、归纳和分析的能力。问题中平衡关系的数学描述有时就直接构成了问题的数学模型，如列方程解应用题时所得到的方程。但有时所提出的平衡关系，还需要经过数学上的加工整理才能得到理想的数学模型。

机理模型实质上就是在一定的假设下，对实际问题中主要因素间平衡关系的数学描述。如中学代数中学习列方程解应用题时，针对应用问题所列的方程，就是一类简单的激励模型。在列方程时往往需要寻找问题中的等量关系。这个关系实际上就是问题的平衡关系。