2021-08-14

:证明黎曼函数在无理点处连续,在有理点处不连续.

:我们首先给出黎曼函数的定义:

:设存在为无理数,对于任意的\epsilon>0,不妨设,此时的数只有有限多个,意思即为只有有限多个,但是至少有一个,即时就是一个,设满足上述条件的x为,令{|,|...|},所以在以为中心,以为邻域的范围内,一定是由的,对上述结论的解释是:首先若是无理数,则,结论成立.若x是有理数,则在上的取值一定是小于的,综上所述可得:,即黎曼函数在无理点处一定是连续的.

:接下来证明黎曼函数在有理点处不连续,根据连续函数的定义即可轻松得到结论
对于任意的正数,即有,所以得到黎曼函数在有理点出是不连续的,定义得证.