图匹配问题系列（一）定义

图相似度问题 （graph similarity）也被叫做近似图同构问题(Approximate Graph Isomorphism)或者图匹配问题(Graph Matching)。

一个广泛研究的图相似度的定义是

其中 和 是阶数（order）相同的图， 是顶点集合的一个置换，代表相应图的邻接矩阵，则代表Frobenius矩阵范数。目标就是找到一个合理的置换，使得在此置换下， 的邻接矩阵会非常“像”的邻接矩阵。如果以邻接矩阵的行号作为顶点编号，这个目标就是在说相同顶点编号对应的顶点的连接模式相似。这里说的连接模式主要指进入和离开的边。

这个问题虽被广为研究，但假设离真实应用有些远。以下罗列几点。

• 不适用于多关系的图（multigraph or multi-relational graph）。虽然稍加修改邻接矩阵该定义可以拓展到加权图，但难以使用在多关系的图上 - 多关系图中的任意两点之间的边可以是多种类型的。
• 要求带匹配的两个图的节点数目相同。

在之后的文章里，我将会介绍如何解决这个问题。