leetcode 3017. 按距离统计房屋对数目 II【推公式+分类讨论+对称性+差分】
原题链接：3017. 按距离统计房屋对数目 II
题目描述：
给你三个 正整数 n 、x 和 y 。
在城市中，存在编号从 1 到 n 的房屋，由 n 条街道相连。对所有 1 <= i < n ，都存在一条街道连接编号为 i 的房屋与编号为 i + 1 的房屋。另存在一条街道连接编号为 x 的房屋与编号为 y 的房屋。
对于每个 k（1 <= k <= n），你需要找出所有满足要求的 房屋对 [house1, house2] ，即从 house1 到 house2 需要经过的 最少 街道数为 k 。
返回一个下标从 1 开始且长度为 n 的数组 result ，其中 result[k] 表示所有满足要求的房屋对的数量，即从一个房屋到另一个房屋需要经过的 最少 街道数为 k 。
注意，x 与 y 可以 相等 。
输入输出描述：
示例 1：
输入：n = 3, x = 1, y = 3 输出：[6,0,0] 解释：让我们检视每个房屋对 - 对于房屋对 (1, 2)，可以直接从房屋 1 到房屋 2。 - 对于房屋对 (2, 1)，可以直接从房屋 2 到房屋 1。 - 对于房屋对 (1, 3)，可以直接从房屋 1 到房屋 3。 - 对于房屋对 (3, 1)，可以直接从房屋 3 到房屋 1。 - 对于房屋对 (2, 3)，可以直接从房屋 2 到房屋 3。 - 对于房屋对 (3, 2)，可以直接从房屋 3 到房屋 2。
示例 2：
输入：n = 5, x = 2, y = 4 输出：[10,8,2,0,0] 解释：对于每个距离 k ，满足要求的房屋对如下： - 对于 k == 1，满足要求的房屋对有 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), 以及 (5, 4)。 - 对于 k == 2，满足要求的房屋对有 (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), 以及 (5, 3)。 - 对于 k == 3，满足要求的房屋对有 (1, 5)，以及 (5, 1) 。 - 对于 k == 4 和 k == 5，不存在满足要求的房屋对。
示例 3：
输入：n = 4, x = 1, y = 1 输出：[6,4,2,0] 解释：对于每个距离 k ，满足要求的房屋对如下： - 对于 k == 1，满足要求的房屋对有 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), 以及 (4, 3)。 - 对于 k == 2，满足要求的房屋对有 (1, 3), (3, 1), (2, 4), 以及 (4, 2)。 - 对于 k == 3，满足要求的房屋对有 (1, 4), 以及 (4, 1)。 - 对于 k == 4，不存在满足要求的房屋对。
提示：
2 <= n <= 10^51 <= x, y <= n
解题思路：
这个题目我感觉是比较难的，赛时写了一个小时的分类讨论没写出来，都给我讨论麻了，赛后学习了一下灵神的思路，然后来总结一下大概思路，首先如果不考虑x和y之间的边，那么就很简单了，对于任意一个位置i,i左边的距离为[1,i-1],右边的点距离分别为[1,n-i],这个对于每个点计算一下就行了，但是这个题难就难在还在（x,y）之间建立了一条边，我们要考虑的就是这条边产生的影响，由于这个题目是具有对称性的，所以我们只需要考虑左半部分即可，右半边对称计算即可。
当1<=i<=x时：
对于[y,n]这个区间的点的距离肯定都变短了，由原来的[y-i,n-i]变为了[x-i+1,x-i+1+n-y]- 对于[x+1,y-1]这个区间内的点一部分变短了，一部分没变，我们来推一下距离变短的那一部分点应该满足什么要求，原来的距离是j-i，现在就是x-i+1+y-j，距离变短意味着j-i>x-i+1+y-j，也就是说j>(x+1+y)/2，也就是j>=(x+1+y)/2+1，所以对于[x+1,y-1]这个区间内的点，对于j>=(x+1+y)/2+1时，距离变短了，我们把这部分原来计算的贡献撤销，加上这个新的贡献。
- 对于y<=i<=n时，是对称的，对称组为(i，n+1-i)，(x，n+1-x)，(y，n+1-y)，然后采用同样的计算方式即可。
当i<(x+y)/2时：
对于[y,n]这个区间的点的距离肯定都变短了，由原来的[y-i,n-i]变为了[i-x+1,i-x+1+n-y]- 对于[x+1,y-1]这个区间内的点一部分变短了，一部分没变，我们来推一下距离变短的那一部分点应该满足什么要求，原来的距离是j-i，现在就是i-x+1+y-j，距离变短意味着j-i>i-x+1+y-j，也就是说j>i+(y-x+1)/2，也就是j>=i+(y-x+1)/2+1，所以对于[x+1,y-1]这个区间内的点，对于j>=i+(y-x+1)/2+1时，距离变短了，我们把这部分原来计算的贡献撤销，加上这个新的贡献。
- 对于i>(x+y+1)/2时，是对称的，对称组为(i，n+1-i)，(x，n+1-x)，(y，n+1-y)，然后采用同样的计算方式即可。
上面我们已经通过分类讨论和推公式推导出了计算公式，由于上面每次都是对一段连续的区间进行+1或者-1，对于这一操作我们可以差分数组进行维护。
时间复杂度：差分时间复杂度为O(1)，枚举时间复杂度为O(n)，最后对于差分数组求前缀和求出原始数组时间复杂度为O(n)，所以最终时间复杂度为O(n)。
空间复杂度：使用了一个差分数组，空间复杂度为O(n)。
cpp代码如下：
class Solution {
typedef long long LL;
public:
vector countOfPairs(int n, int x, int y) {
if(x>y)swap(x,y); //让x是较小的那个数，y是较大的那个数，方便处理
vectors(n+1); //差分数组
auto add=[&](int l,int r,int v){ //差分处理函数
if (l>r) {
return;
}
s[l]+=v,s[r+1]-=v;
};
auto update=[&](int i,int x,int y){ //对于1<=i<=x这一部分的处理
add(y-i,n-i,-1);
int dec=y-x-1;
add(y-i-dec,n-i-dec,1);
int j=(x+1+y)/2+1;
add(j-i,y-1-i,-1);
add(x-i+2,x-i+1+y-j,1);
};
auto update2=[&](int i,int x,int y){ //对于x=y)continue; //x+1>=y不对初始贡献产生影响
//分类谈论分四种情况讨论，左半边通过上述函数直接计算，右半边对称之后通过上述函数计算
if(i<=x)update(i,x,y);
else if(i>=y)update(n+1-i,n+1-y,n+1-x);
else if(i<(x+y)/2)update2(i,x,y);
else if(i>(x+y+1)/2)update2(n+1-i,n+1-y,n+1-x);
}
LL sum=0;
vectorans(n);
//根据差分数组求出原始数组
for(int i=0;i