Python3算法实例 1.1：动态规划 之 上台阶

step.jpg

问题：

50级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶，共有多少种走法。

动态规划思想解析：

假设T(50)表示所有走法的种数。当在50级台阶的时候，要么是从49级台阶一步走了1阶上来的，要么是从48级台阶一步走了2阶上来的。因此T(50)=T(49)+T(48)。同理可得
  T(49)=T(48)+T(47)
  T(49)=T(48)+T(47)
  ……
  T(3)=T(2)+T(1)
此外，还可得到T(2)=2、T(1)=1。

这样就把原来的求T(50)的问题，转换为求T(49)、T(48)………T(3)这样的子问题。而T(2)=2、T(1)=1称为这个问题的边界条件。如果没有边界条件，就会分解为无限个子问题，因此得不到问题的解。类似T(50)=T(49)+T(48)这样的表达式称为这个问题的状态转移方程；而50,49……3,2这样的数字可以看成问题的状态。

也就是说要想利用动态规划的思想解决问题，需要：

• 转化为子问题
• 状态转移方程
• 边界条件

Python3程序实现：

#递归实现
def Floor_Recursion(number):
    if number==1:#边界条件
        return 1
    if number==2:#边界条件
        return 2
    return Floor_Recursion(number-1)+Floor_Recursion(number-2)#状态转移方程

上述的递归实现简单，但运行速度较慢，并且容易造成栈溢出。分析其原因，是因为上面的程序调用了太多重复的结果，因此需要优化。有一种实现方法被称为备忘录，就是把需要程序用到的结果储存起来，例如Python的字典存储。

#备忘录实现
def Floor_Memo(number):
    memo = {1: 1, 2: 2}  # 边界条件
    count = 2
    while count < number:
        count += 1
        memo[count] = memo[count - 1] + memo[count - 2]  # 状态转移方程
    return memo[number]

还有一种实现方法称为动态规划，这需要仔细分析问题的状态转移方程。以本问题为例，现在的状态只是和之前的2个状态有关。因此实际上只需要存储2个结果。

# 动态规划实现
def Floor_DP(number):
    if number == 1:  # 边界条件
        return 1
    if number == 2:  # 边界条件
        return 2
    result = [1, 2]  # 只存储前2次结果
    count = 2
    while count < number:
        nexta = sum(result)
        result = [result[1], nexta]  # 等同于状态转移方程
        count += 1
    return result[-1]

结果：

T(50)=20365011074

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