高中奥数 2021-12-04

2021-12-04-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇向量的内积 P037 例题5）

任给8个非零实数,证明:下面6个数,,,,,中,至少有一个是非负的.

分析与解

令向量,,,,这4个向量中至少有两个向量之间的最小正夹角小于或等于,不妨设这两个向量为和,此时

证毕.

2021-12-04-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇向量的内积 P037 例题6）

已知两个不同点、,求平面上满足条件(为非零实常数)的点的轨迹.

分析与解

设,取中点,则.

$\begin{aligned} k^{2}&=\overrightarrow {MA}\cdot \overrightarrow {MB}\\ &=\left(\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OM}\right)\cdot \left(\overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OM}\right)\\ &=\left(\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OM}\right)\cdot \left(-\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OM}\right)\\ &=-\overrightarrow {OA}^{2}+\overrightarrow {OM}^{2}\\ &=\left|\overrightarrow{OM}\right|^{2}-a^{2}, \end{aligned}$

即.

故点在平面上的轨迹是以的中点为圆心,以为半径的圆.

2021-12-04-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇向量的内积 P037 例题7）

如图,在中,,是的中点,是从作的垂线的垂足,是的中点,求证:.

图1

分析与解

$\begin{aligned} \overrightarrow {AF}\cdot \overrightarrow {BE}&=\overrightarrow {AF}\cdot \left(\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CE}\right)\\ &=\left(\overrightarrow {AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {DE}\right)\cdot \overrightarrow {BC}+\left(\overrightarrow {AE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {ED}\right)\cdot \overrightarrow {CE}\\ &=\dfrac{1}{2}\overrightarrow {DE}\cdot \overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AE}\cdot \overrightarrow {CE}\\ &=\overrightarrow {DE}\cdot \overrightarrow {DC}+\overrightarrow {AE}\cdot \overrightarrow {CE}\\ &=\overrightarrow {DE}\cdot \left(\overrightarrow {DC}+\overrightarrow {CE}\right)-\left|\overrightarrow{AE}\right|\cdot\left|\overrightarrow{CE}\right|\\ &=\overrightarrow {DE}\cdot \overrightarrow {DE}-\left|\overrightarrow{AE}\right|\cdot\left|\overrightarrow{CE}\right|\\ &=0. \end{aligned}$

故,证毕.

2021-12-04-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇向量的内积 P038 例题8）

如图,中,为外心,三条高、、交于点,直线和交于点,和交于点.求证:.

图2

分析与解

设点满足,则

故.

同理,于是与重合,即.

由,.

知,同理,.故

$\begin{aligned} \overrightarrow {OH}\cdot\overrightarrow {AM}&=\left(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OA}\right)\cdot \overrightarrow {AM}+\overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow {AM}\\ &=\overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow {AM}\\ &=\overrightarrow {OC}\cdot \left(\overrightarrow {AE}+\overrightarrow {EM}\right)\\ &=\overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow {AE}+ \overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow {EM}\\ &=\overrightarrow {OC}\cdot \overline{AE}\\ &=\left|\overrightarrow {OC}\right|\cdot \left|\overrightarrow {AE}\right|\cdot \cos \left(90^{\circ}-B\right)\\ &=R\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|\cos A\sin B\\ &=2R^{2}\cdot \cos A\sin B\sin C. \end{aligned}$

同理,所以

故,证毕.

高中奥数 2021-12-04

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