线性矩阵不等式LMI与李雅普诺夫Lyapunov稳定性

线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）

形式为
$$\text{LMI}(y)=A_0+A_1{y}_1+A_2{y}_2+\cdots \ge 0$$
其中$A_0,A_1,A_2,...$为对称方阵。

例子

若
$$\text{LMI}(y)=\left[\begin{array}{cc}{y}_1+y_2& y_2+1\\ y_1+1& y_3\end{array}\right],$$
则对应
$$A_0=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],A_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right],A_2=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right],A_3=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}.\right]$$
随着解决线性矩阵不等式的内点法的提出、以及 MATLAB 软件中 LMI 工具箱的推出，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的注意和重视。

Lyapunov稳定性

假设可以找到一个正定的Lyapunov函数$V$（即$V>0$）且$\dot{V}<0$，则可以证明系统是稳定的。以线性系统为例：
$$\dot{x}=Ax+Bu.$$
假设反馈控制
$$u=-Kx.$$
取Lyapunov函数为
$$V(x)=x^{T}Px,$$
其中$P$正定且对称，即$P\succ 0,P=P^T$。Lyapunov的导数为
$$\begin{array}{rl}\dot{V}(x)=& x^{T}P\dot{x}+{\dot{x}}^{T}Px\\ =& x^{T}P(A-BK)x+x^T(A-BK{)}^{T}Px\\ =& -x^{T}Qx,\end{array}$$
其中
$$Q=-(A^{T}P+PA-PBK-K^T{B}^{T}P).$$
若能证明$Q\succ 0$，则该系统渐近稳定。

最优控制中常取
$$K=-\frac{1}{2}{R}^{-1}{B}^T{P}^T,$$
其中，前提矩阵$R$满足$R=R^T\succ 0$、$R^{-1}$存在且有界，于是，
$$Q=-(A^{T}P+PA-PB{R}^{-1}{B}^T{P}^T).\text{\hspace{1em}(1)}$$

Schur Complement

Schur Complement可用于对一个块矩阵进行等价转换。

定义

假设一个$n\times n$的矩阵$M$可以写成一个块矩阵形式：
$$M=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right].$$

1. 若$D$是可逆的，则$D$在$M$中的舒尔补存在且为
   $$A-B{D}^{-1}C;$$

2. 若$A$是可逆的，则$A$在$M$中的舒尔补存在且为
   $$D-C{A}^{-1}B.$$
   “来历”：对方程
   $$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right],$$
   使用高斯消元法，由$D$可逆有
   $$(A-B{D}^{-1}C)x=p-B{D}^{-1}q.$$
   由$A$可逆有
   $$(D-C{A}^{-1}B)y=q-C{A}^{-1}p.$$
   未知数前面的系数即为舒尔补。

Schur Complement作用/性质

1. 将$M$分别变为上三角或者下三角矩阵：若$D$可逆，则
   $$M=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& B{D}^{-1}\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A-B{D}^{-1}C& 0\\ 0& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ D^{-1}C& I\end{array}\right];$$
   若$A$可逆，则
   $$M=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ C{A}^{-1}& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I& A^{-1}B\\ 0& I\end{array}\right].$$
   利用该性质可以快速求解矩阵$M$的逆。

2. 特殊性质：若$M$是对称的，即
   $$M=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ B^T& C\end{array}\right],$$
   若$C$可逆，则有下列性质：

3. $M\succ 0$，则有且仅有$C\succ 0$且$A-B{C}^{-1}{B}^T\succ 0$；

4. 若$C\succ 0$，则$M\succ 0$有且仅有 $A-B{C}^{-1}{B}^T\succ 0$。

利用Schur Complement将LMI和Lyapunov联系起来

利用舒尔补的特殊性质，式$(1)$大于0等效为
$$\left[\begin{array}{cc}-A^{T}P-PA& PB\\ B^T{P}^T& R\end{array}\right]\succ 0.$$
Lyapunov稳定性的判定条件转化为线性形式，从而方便用软件包数值求解。