浅谈连续逆F类的基础理论-波形、最佳阻抗、输出功率
浅谈连续逆F类的基础理论
各种逆类型的功放好像都少引人关注，因为很多人学完正的连续B/J类和连续F类，想当然的类推到了连续逆F类上面去。貌似连续逆F类就是连续F类的电压电流交换一下而已，无需额外的注意，实际并非那么简单的。
浅谈连续逆F类的基础理论
- 浅谈连续逆F类的基础理论
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- 1、连续逆F类的波形
- 2、连续逆F类和最佳B类阻抗Ropt的复杂关联
- 3、同输出功率下的连续逆F类(在中心处)和B类阻抗关系
1、连续逆F类的波形
貌似连续逆F类就是连续F类的电压电流交换一下而已，实际并非那么简单，对于功率放大器，电流和电压波形都有着不同的约束条件。一般来说，我们十分熟悉连续F类的波形表达式(The continuous class-f mode power amplifier)：
V C F = ( 1 − 2 3 cos θ ) 2 ⋅ ( 1 + 1 3 cos θ ) ⋅ ( 1 − γ sin θ ) I C F = 1 π + 1 2 cos θ + 2 3 π cos ( 2 θ ) \begin{aligned} &\begin{aligned}V_{CF}&=\left(1-\frac{2}{\sqrt{3}}\cos\theta\right)^2\cdot\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\cos\theta\right)\cdot(1-\gamma\sin\theta)\end{aligned} \\ &\begin{aligned}I_{CF}&=\frac1\pi+\frac12\cos\theta+\frac2{3\pi}\cos(2\theta)\end{aligned} \end{aligned} VCF=(1−32cosθ)2⋅(1+31cosθ)⋅(1−γsinθ)ICF=π1+21cosθ+3π2cos(2θ)
画出来一个特例，此处选F类画出来：
对于这样的波形，其电压、电流都有一定的特点。
1、电压波形必须大于等于0，这是由于晶体管的固有限制
2、电流波形一般可以小于0
3、F类电流波形应为理想的峰值归一化半正弦波，其峰值为1、最小值为0；但是由于此处考虑到三次谐波，峰值略大于1，最小值略小于0。
使用代码观察连续F类的特点：
v_CF=(1-2/sqrt(3)*cosd(theta)).^2.*(1+1/sqrt(3)*cosd(theta));
i_CF=1/pi+1/2*cosd(theta)+2/(3*pi)*cosd(2*theta);
figure
plot(theta,v_CF)
hold on
plot(theta,i_CF)
legend('v','i')
title('Class-F')
disp(['三次谐波C-F类电压最小值为',num2str(min(v_CF))])
disp(['三次谐波C-F类电流最小值为',num2str(min(i_CF))])
disp(['三次谐波C-F类电流最大值为',num2str(max(i_CF))])
那么显然，连续逆F无法简单使用连续F类的电流波形作为其电压波形，因为PA的电压波形一定要大于0的。事实上，逆F自从提出时就有自己的电压电流公式(Exploring the Design Space for Broadband PAs using the Novel “Continuous Inverse Class-F Mode”、“Design of Broadband Highly Efficient Harmonic-Tuned Power Amplifier Using In-Band Continuous Class-F F-1 Mode Transferring” )：
连续逆F是在其基础上乘以了一个连续因子：
因此，连续逆F类的电压波形不是连续F类的电流波形，连续逆F类的电流波形也不是连续F类的电压波形，大家需要进行区分。当然，逆F的电压波形也满足最小值大于等于0的条件，可以使用下面代码进行验证：
theta=0:1:719;
iDC=0.37;i1=0.43;i2=0;i3=0.06;
deta=-1:0.2:1;
for ind=1:1:length(deta)
i_IF(ind,:)=(iDC-i1*cosd(theta)+i2*cosd(2*theta)+i3*cosd(3*theta)).*(1-deta(ind)*sind(theta));
end
v_IF=1+2/sqrt(2)*cosd(theta)+1/2*cosd(2*theta);
eta=2*i1*2/sqrt(2)/(2*iDC*2);
disp(['三次谐波C-IF类电压最小值为',num2str(min(v_IF'))])
disp(['三次谐波C-IF类电流最小值为',num2str(min(i_IF'))])
disp(['三次谐波C-IF类电流最大值为',num2str(max(i_IF'))])
2、连续逆F类和最佳B类阻抗Ropt的复杂关联
大家在研究各种功放模式的时候一定避不开最佳基本阻抗Ropt，实际上这是管子工作在B类饱和时的最佳阻抗，一般选这个作为参考标准，Ropt的计算公式为：
R o p t = V d c − V k n e e I p e a k 2 R_\mathrm{opt}=\frac{V_\mathrm{dc}-V_\mathrm{knee}}{\frac{I_\mathrm{peak}}2} Ropt=2IpeakVdc−Vknee
为什么要使用这个参考呢，其中的重要因素在于 I p e a k I_\mathrm{peak} Ipeak，是为了让晶体管工作在电流饱和的状态，使得电流达到晶体管的标称峰值。为了方便计算各种模式关于Ropt的阻抗，经常对电流使用峰值归一化，如B类、F类等等，他们的电流的直流分量不是1，但是峰值是1。
例如C-B/J类的：
I B ( θ ) = I J ( θ ) = 1 π + 1 2 cos ( θ ) + 2 3 π cos ( 2 θ ) V B ( θ ) = ( 1 − cos ( θ ) ) \begin{aligned}&I_B(\theta)=I_J(\theta)=\frac1\pi+\frac12\cos(\theta)+\frac2{3\pi}\cos(2\theta)\\&V_B(\theta)=(1-\cos(\theta))\end{aligned} IB(θ)=IJ(θ)=π1+21cos(θ)+3π2cos(2θ)VB(θ)=(1−cos(θ))
那么对于连续逆F类，其如何使用最佳基波阻抗Ropt（或其倒数Gopt）对其进行表述呢？一个大的问题是其电流波形的峰值并不固定：
实际上，作者在提出逆F的时候就考虑了这一点，因此连续逆F类的电流波形的峰值是在1附近波动，而不是强行峰值归一化到1，这也是无奈之举，谁叫拓展的就是电流呢。。。
使用Matlab编程也可以得到其电流峰值随自由因子的变化关系：
很巧，如果对各个自由度下的电流波形的最大值求均值，那么结果约等于1，这也是连续逆F类的电流波形系数确定的原因之一。
结论就是，虽然连续逆F类电流波形峰值变化，但是其均值是在1附近，因此直接使用原式子进行计算Gopt的系数即可（默认已经电流峰值归一化了）。上面的画图和数据显示代码：
close all
clear
clc
theta=0:1:719;
iDC=0.37;i1=0.43;i2=0;i3=0.06;
deta=-1:0.2:1;
for ind=1:1:length(deta)
i_IF(ind,:)=(iDC-i1*cosd(theta)+i2*cosd(2*theta)+i3*cosd(3*theta)).*(1-deta(ind)*sind(theta));
end
v_IF=1+2/sqrt(2)*cosd(theta)+1/2*cosd(2*theta);
eta=2*i1*2/sqrt(2)/(2*iDC*2);
disp(['三次谐波C-IF类电压最小值为',num2str(min(v_IF'))])
disp(['三次谐波C-IF类电流最小值为',num2str(min(i_IF'))])
disp(['三次谐波C-IF类电流最大值为',num2str(max(i_IF'))])
disp(['IF的效率',num2str(eta)])
figure
plot(theta,v_IF)
hold on
plot(theta,i_IF)
legend('v');
title('Class-IF')
众所周知，连续逆F类的基波阻抗空间的导纳不变，使用Gopt进行表述：
{ Y 1 f , C − F − 1 = ( 0.43 2 + j 0.37 2 γ ) G o p t Y 2 f , C − F − 1 = − j 0.98 2 γ G o p t Y 3 f ; C − F − 1 = ∞ G o p t = 1 / R o p t \begin{cases}Y_{1f,C-F^{-1}}=\left(0.43\sqrt{2}+j0.37\sqrt{2}\gamma\right)G_{opt}\\Y_{2f,C-F^{-1}}=-j0.98\sqrt{2}\gamma G_{opt}\\Y_{3f;C-F^{-1}}=\infty\\G_{opt}=1/R_{opt}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧Y1f,C−F−1=(0.432+j0.372γ)GoptY2f,C−F−1=−j0.982γGoptY3f;C−F−1=∞Gopt=1/Ropt
在归一化导纳为Gopt的图中，其曲线为：
3、同输出功率下的连续逆F类(在中心处)和B类阻抗关系
Continuous Class-J/F−1 Mode Asymmetrical Doherty Power Amplifier With Extended Bandwidth and Enhanced Efficiency中有这么一个式子：
就是如果要输出同样的功率，逆F类的阻抗要是B类的两倍。当时一直不清楚如何得来。要假定输出同样的功率，我们可以先进行直流的归一化，这样可以让输入的功率相等。然后再次使用阻抗的计算公式进行计算：
Z 1 f = − a V , 1 + j b V , 1 a I , 1 + j b I , 1 Z_{1f}=-\frac{a_{V,1}+jb_{V,1}}{a_{I,1}+jb_{I,1}} Z1f=−aI,1+jbI,1aV,1+jbV,1
计算得出的B类直流归一化阻抗和逆F类直流归一化阻抗为（计算代码之后给出）：
但是，直流归一化下其输入功率相等，输出功率却不一致，B类效率为78.54%，但是逆F类的理论效率是81.85%。因此，如果要让B类输出与逆F类相同，其阻抗需要减少一定值，在原来的基础上乘以78.54/81.85即可，最终得到结果为：
可以看到，确实近似是两倍的关系。
也就是，如果连续逆F和连续B/J要输出同样的功率，其在Smith的曲线应该是这样的（中心阻抗差两倍，具体位置和直流量相关）：
代码：
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clear
clc
theta=0:1:719;
iDC=0.37;i1=0.43;i2=0;i3=0.06;
deta=-1:0.2:1;
for ind=1:1:length(deta)
i_IF(ind,:)=(iDC-i1*cosd(theta)+i2*cosd(2*theta)+i3*cosd(3*theta)).*(1-deta(ind)*sind(theta));
end
v_IF=1+2/sqrt(2)*cosd(theta)+1/2*cosd(2*theta);
eta=2*i1*2/sqrt(2)/(2*iDC*2);
disp(['三次谐波C-IF类电压最小值为',num2str(min(v_IF'))])
disp(['三次谐波C-IF类电流最小值为',num2str(min(i_IF'))])
disp(['三次谐波C-IF类电流最大值为',num2str(max(i_IF'))])
disp(['IF的效率',num2str(eta)])
figure
plot(theta,v_IF)
hold on
plot(theta,i_IF)
legend('v');
title('Class-IF')
i_B=1/pi+1/2*cosd(theta)+2/(3*pi)*cosd(2*theta);
v_B=1-cosd(theta);
figure
plot(theta,v_B)
hold on
plot(theta,i_B)
legend('v','i')
title('Class-B')
disp(['IF的Ropt阻抗系数',num2str(2/sqrt(2)/i1)])
disp(['B的Ropt阻抗系数',num2str(1/(1/2))])
disp(['IF的直流归一化Rdc阻抗系数',num2str(iDC*2/sqrt(2)/i1)])
disp(['B的直流归一化Rdc阻抗系数',num2str(1/(pi/2))])
disp(['同功率输出下B类系数',num2str(pi/4/eta/(pi/2))])