2.2学习总结8
0-1背包问题
0-1背包问题是一个经典的组合优化问题，其问题描述为：有一组物品，每个物品有重量和价值两个属性。现在有一个背包，它能承受的最大重量为W。要求在不超过背包承重的情况下，选择一些物品装入背包，使得装入的物品总价值最大。
该问题的特点是每个物品只有选或不选两种情况，即0-1选择，不能选择部分物品装入。
解决该问题的常用方法是使用动态规划。
二维数组
定义一个二维数组dp[ ][ ]，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择总重量不超过j的情况下的最大总价值。
动态规划的状态转移方程为：
1）若第i个物品的重量大于j，即wi > j，则dp[i][j] = dp[i-1][j]，即当前物品不选；
2）若第i个物品的重量小于等于j，即wi <= j，dp[i][j] = dp[i-1][j]（不选）或 dp[i][j] = dp[i-1][j-wi]+vi（不选），则 dp[i][j] = max ( dp[i-1][j] , dp[i-1][j-wi]+vi )，即当前物品选或不选，选择价值最大的情况。
最终的结果为dp[N][W]，即在前N个物品中选择总重量不超过W的情况下的最大总价值。
一维数组
定义一个二维数组dp[ ]，其中dp[j]表示在选择总重量不超过j的情况下的最大总价值。
动态规划的状态转移方程为：
1）若第i个物品的重量大于j，即wi > j，则dp[j] = dp[j]，即当前物品不选；
2）若第i个物品的重量小于等于j，即wi <= j，dp[j] = dp[j]（不选）或 dp[j] = dp[j-wi]+vi（不选），则 dp[j] = max ( dp[j] , dp[j-wi]+vi )，即当前物品选或不选，选择价值最大的情况。
最终的结果为dp[W]，即在选择总重量不超过W的情况下的最大总价值。
上例题^_^
题目描述
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入格式
第一行有 2 个整数 T（1≤T≤1000）和 （1≤M≤100），用一个空格隔开，T 代表总共能够用来采药的时间，M 代表山洞里的草药的数目。
接下来的 M 行每行包括两个在 1 到 100 之间（包括 1 和 100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式
输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。
输入输出样例
输入 #1复制
70 3
71 100
69 1
1 2
输出 #1复制
3
说明/提示
【数据范围】
-
对于 30% 的数据，M≤10；
-
对于全部的数据，M≤100。
二维数组 (会超时）
#include
int max[1010][100010],time[1010],w[1010];
int main()
{
int t,m,i,j;
scanf("%d %d",&t,&m);
for(i=1;i<=m;i++)
scanf("%d %d",&time[i],&w[i]);
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=t;j++)
{
if(j>=time[i])
max[i][j]=max[i][j]>(max[i-1][j-time[i]]+w[i])?max[i][j]:(max[i-1][j-time[i]]+w[i]);
else
max[i][j]=max[i-1][j];
}
printf("%d",max[m][t]);
}
一维数组
#include
int max[100010],time[1010],w[1010];
int main()
{
int t,m,i,j;
scanf("%d %d",&t,&m);
for(i=1;i<=m;i++)
scanf("%d %d",&time[i],&w[i]);
for(i=1;i<=m;i++)
for(j=t;j>=0;j--)//倒序哦，不然会重复
if(j>=time[i])//可以选择
max[j]=max[j]>(max[j-time[i]]+w[i])?max[j]:(max[j-time[i]]+w[i]);
printf("%d\n",max[t]);
} 完全背包问题
题目背景
此题为纪念 LiYuxiang 而生。
题目描述
LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？
此题和原题的不同点：
1. 每种草药可以无限制地疯狂采摘。
2. 药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！
输入格式
输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 t 和代表山洞里的草药的数目 m。
第 2 到第 (m+1) 行，每行两个整数，第 (i+1) 行的整数 ai,bi 分别表示采摘第 i 种草药的时间和该草药的价值。
输出格式
输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
输入输出样例
输入 #1复制
70 3
71 100
69 1
1 2
输出 #1复制
140
说明/提示
数据规模与约定
-
对于 30%30% 的数据，保证 m≤10^3 。
-
对于 100%100% 的数据，保证 1≤m≤10^4，1≤t≤10^7，且 1≤m×t≤10^7，1≤ai,bi≤10^4。
#include
long long max[10000010],time[10000010],w[10000010];
int main()
{
long long t,m,i,j;
scanf("%lld %lld",&t,&m);
for(i=1;i<=m;i++)
scanf("%lld %lld",&time[i],&w[i]);
for(i=1;i<=m;i++)
for(j=time[i];j<=t;j++)
if(j>=time[i])
max[j]=max[j]>(max[j-time[i]]+w[i])?max[j]:(max[j-time[i]]+w[i]);
printf("%lld\n",max[t]);
}