时间复杂度和空间复杂度

一、时间复杂度

时间复杂度就是用来方便开发者估算出程序的运行时间

那么我们如何估计时间复杂度呢？

我们通常会估计算法的操作单元数量，来代表程序消耗的时间， 这里我们默认CPU的每个单元运行消耗的时间都是相同的。

假设算法的问题规模为n，那么操作单元数量便用函数f(n)来表示

随着数据规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，这称作为算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，记为 O(f(n))

O是什么呢？

算法导论是这么写的：大O用来表示上界的，当用它作为算法的最坏情况运行时间的上界，就是对任意数据输入的运行时间的上界。

那么我们怎么算O(f(n))呢？

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要 大概执行次数，那么这 里我们使用大 O 的渐进表示法

推导大 O 阶方法：

1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。

2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶

通过上面我们会发现大 O 的渐进表示法 去掉了那些对结果影响不大的项 ，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数 ( 上界 )

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数 ( 下界 )

例如：在一个长度为 N 数组中搜索一个数据 x

最好情况： 1 次找到

最坏情况： N 次找到

平均情况： N/2 次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为 O(N)

举个例子：

void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

计算相关的时间复杂度：操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

void Func2(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

操作执行了 M+N 次，有两个未知数 M 和 N ，时间复杂度为 O(N+M)

void Func(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

操作执行了 10 次，通过推导大 O 阶方法，时间复杂度为 O(1)

const char * strchr ( const char * str, int character );

操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

操作执行最好 N 次，最坏执行了 (N*(N+1)/2 次，通过推导大 O 阶方法 + 时间复杂度一般看最

坏，时间复杂度为 O(N^2)

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

操作执行最好 1 次，最坏 O(logN) 次，时间复杂度为 O(logN) ps ： logN 在算法分析中表示是底

数为 2 ，对数为 N 。有些地方会写成 lgN 。（建议通过折纸查找的方式讲解 logN 是怎么计算出来的）

long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

实例 7 通过计算分析发现基本操作递归了 N 次，时间复杂度为 O(N) 。

long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

实例 8 通过计算分析发现基本操作递归了 2^N 次，时间复杂度为 O(2^N) 。

二、空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用 大 O 渐进表示法 。

注意： 函数运行时所需要的栈空间 ( 存储参数、局部变量、一些寄存器信息等 ) 在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

举个例子:

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)]

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
}

动态开辟了 N 个空间，空间复杂度为 O(N)

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

递归调用了 N 次，开辟了 N 个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为 O(N)

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这就是时间复杂度空间复杂度: