代码随想录算法训练营第四十二天 | 背包问题

背包问题 理论 基础：二维

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：带你学透0-1背包问题！| 关于背包问题，你不清楚的地方，这里都讲了！| 动态规划经典问题 | 数据结构与算法_哔哩哔哩_bilibili

先看文档后看视频

对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。

几种背包问题的区分：

完全背包是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！

leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。

所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了。

01 背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。暴力的解法应该是怎么样的呢？

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是o(2^n)，这里的n表示物品数量。所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

举一个例子：背包最大重量为4。物品为：

重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

问背包能背的物品最大价值是多少？以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

二维dp数组01背包

动规五部曲分析一波。

1. 确定dp数组以及下标的含义

   对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即**dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：

要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i 代表什么，j 又代表什么。

2. 确定递推公式

   dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

   可以由两个方向推出来dp[i][j]，

   • 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即【背包容量为j，里面不放物品i】的最大价值，此时dp[i][j]=dp[i - 1][j]。(其实就是当【放入物品i后物品的重量】大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)

   • 放物品i：此时dp[i][j]=dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]，即【背包容量为j，里面放物品i】的最大价值。dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，value[i]为物品i的价值。

     清晰解释：当i放进去时，那么这时候整个物品集就被分成两部分，1到i-1和第i个，而这是i是确定要放进去的，那么就把j空间里的wi给占据了，只剩下j－wi的空间给前面1-- (i－1)，那么只要这时候前面1 – (i－1)在j－wi空间里构造出最大价值，即

     dp【i－1】【j－wi】，再加上此时放入的i的价值vi，就是dpij了。i-1是指能选择的物品有i-1个而不一定真的放了i-1个物品。

   所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3. dp数组如何初始化

   关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

   首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

再看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量足够放编号0物品。

此时dp数组初始化情况如图所示：

代码初始化如下：

//如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略
// 背包容量比编号0的物品重量还小
for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // j < weight[0]
    dp[0][j] = 0;
}
// 背包容量足够放编号0物品
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {	// j >= weight[0]时
    dp[0][j] = value[0];
}

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

最后初始化代码如下：

// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

4. 确定遍历顺序

   在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。

• 先遍历物品，然后遍历背包重量的代码

  // weight数组的大小 就是物品个数
  for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
      for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
          if (j - weight[i] < 0) dp[i][j] = dp[i - 1][j];	//解决else中数组越界的问题
          else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
      }
  }
  

• 先遍历背包，再遍历物品的代码

  // weight数组的大小 就是物品个数
  for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
      for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
          if (j - weight[i] < 0) dp[i][j] = dp[i - 1][j];	//解决else中数组越界的问题
          else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
      }
  }
  

为什么两种遍历都可以呢？要理解递归的本质和递推的方向。

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向），那么

• 先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：

  

• 先遍历背包，再遍历物品呢，如图：

  

  可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！

但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。

其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。

5. 举例推导dp数组

   做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！

   如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。

总结

可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在如何初始化和遍历顺序上。

测试代码

void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    // 二维数组
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j - weight[i] < 0) dp[i][j] = dp[i - 1][j];	//解决else中数组越界的问题
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

背包问题 理论 优化：一维（滚动数组）

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

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滚动数组，就是把二维dp降为一维dp。

接下来还是用如下这个例子来进行讲解，背包最大重量为4。物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

问背包能背的物品最大价值是多少？

一维dp数组（滚动数组）

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

其实还是两层for循环，只是空间复杂度减小了。

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。一定要时刻记住这里i和j的含义。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组的定义

   在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值最大为dp[j]。

2. 一维dp数组的递推公式

   如何推导dp[j]呢？

   dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
   

   此时dp[j]有两个选择，

   一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i;

   一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值。

   可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

3. 一维dp数组如何初始化

   关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

   dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

   那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

   那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？

   看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

   dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

   这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被max内的初始值dp[j]覆盖了。

   也就是说初始化值必须比最小价值还要小。

4. 一维dp数组遍历顺序

   for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
       for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
           //为什么j>=weight[i]：避免下面这个数组溢出
           dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
       }
   }
   

   这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！

   二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。为什么呢？

   倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

   举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15

   如果正序遍历

   dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

   dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

   此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

   为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？

   倒序就是先算dp[2]

   dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

   dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

   所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

   那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒序呢？

   因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

   ---

   再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

   不可以！因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

   倒序遍历的原因是，避免上一层的dp[j-weight[i]]被覆盖

   本质还是对二维数组的遍历，并且右下角的值dp[i][j]依赖上一层左上角的值dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]，

   对应到一维数组就是：dp[j]依赖于左边的dp[j - weight[i]]，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。

   所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！

5. 举例推导dp数组

测试代码

void test_1_wei_bag_problem() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_1_wei_bag_problem();
}

可以看出，一维dp 的01背包，要比二维简洁的多！ 初始化 和 遍历顺序相对简单了。

所以我倾向于使用一维dp数组的写法，比较直观简洁，而且空间复杂度还降了一个数量级！

在后面背包问题的讲解中，我都直接使用一维dp数组来进行推导。

416. 分割等和子集

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：动态规划之背包问题，这个包能装满吗？| LeetCode：416.分割等和子集_哔哩哔哩_bilibili

状态：看了如何转成01背包问题才能做出来。难点就在于如何转为01背包问题。

思路

！！因为背包问题的定义是：在多个物品的重量不超过背包容量的前提下，使这些物品的价值最大化。

类比到本题，题目问“能否找到数组中的多个元素的和等于sum/2”。也就是说，

• 若能找到，则部分元素和为sum/2，剩余元素和也为sum/2；
• 若找不到，则部分元素和小于(或大于)sum/2，剩余元素和大于(或小于)sum/2。

！！总结以上两点就是：在部分元素和小于等于sum/2的前提下，使这些元素和最大化（即等于sum/2）。

将上述两个！！的句子对应，可知：背包容量–>sum/2，多个物品的重量–>部分元素和，多个物品的价值–>部分元素和。提炼一下，即“背包容量–>sum/2，物品重量–>元素值，物品价值–>元素值”。

然后套到01背包问题一维dp数组的模板：

class Solution {
public:
    // 01背包问题一维dp数组的模板
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if(sum % 2 == 1) return false;
        sum /= 2;	// ！！背包容量
        
        vector<int> dp(sum + 1, 0);
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {	//！！遍历物品
			for(int j = sum; j >= nums[i]; j--) {	//！！遍历背包容量
                // ！！第一个nums[i]为物品重量，第二个nums[i]为物品价值
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);	
            }            
        }
        
        // ！！在部分元素和小于等于sum的前提下，这些元素和最大化的值为dp[sum]。
        if(dp[sum] == sum) return true;	//若等于
        else return false;	//若小于
    }
};