使用牛顿法求解非线性方程

牛顿法的介绍

牛顿法，也称为牛顿-拉弗森方法，是一种强大的数值算法，用于快速找到函数的零点，即求解$f(x)=0$的$x$值。这个方法特别适用于求解复杂的非线性方程，其中解析解可能难以找到或者不存在。牛顿法的关键优势在于它的收敛速度非常快，尤其是当初始猜测接近实际解时。

基本原理

牛顿法的基本思想是利用函数在某点的线性近似来预测函数的根。如下图所示：

给定一个近似解$x_n$ ，你可以找到函数在这一点的切线，然后看这条切线与x轴的交点$x_{n+1}$。这个交点作为下一个近似解。数学上，这个过程可以用以下公式描述：
$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$
这里，$f^{\prime }(x_n)$是函数$f$在$x_n$处的导数。

迭代过程

1、选择初始猜测$x_0$：这是迭代过程的起点。理想的初始猜测应该尽可能接近实际解，但是牛顿法对初始猜测的准确度要求不是非常高。
2、计算函数值和导数：在当前猜测点$x_n$处计算函数$f(x_n)$和其导数$f^{\prime }(x_n)$。
3、更新猜测：使用上面的迭代公式计算下一个猜测$x_{n+1}$。
4、检查收敛条件：如果$\mid x_{n+1}-x_n\mid$小于预定的容忍度$ϵ$，则认为找到了足够精确的解，迭代结束。
5、重复：如果未达到收敛条件，则使用新的$x_{n+1} $重复步骤 2 至 4，直到满足收敛条件或达到最大迭代次数。

特点和考虑事项

1、快速收敛：在好的初始猜测和函数性质允许的情况下，牛顿法可以非常快速地收敛到精确解。
2、依赖导数：需要计算函数的导数，对于某些复杂函数，可能会相对困难。
3、可能的失败：如果$f^{\prime }(x_n)=0$，则迭代公式无法应用，需要选择新的初始猜测。此外，如果初始猜测太远离真实解，或者函数在求解区域内行为怪异，牛顿法可能不会收敛。

实例：求解复杂非线性方程

考虑非线性方程$f(x)=cos(x)-x^3$。目标是找到这个方程的一个根。
1、函数及其导数：
$f(x)=cos(x)-x^3$
$f^{\prime }(x)=-\sin (x)-3x^2$
2、初始猜测：假设$x_0=0.5$作为起始点。
3、迭代更新：应用牛顿法迭代公式寻找根。

解决此实例的MATLAB代码

function [x,i] = newtonMethodExample()
    % 定义初始猜测
    x0 = 0.5;
    % 容忍度
    tol = 1e-6;
    % 最大迭代次数
    maxIter = 1000;
    % 当前猜测
    x = x0;
    
    for i = 1:maxIter
        % 计算函数值和导数值
        fx = cos(x) - x^3;
        dfx = -sin(x) - 3*x^2;
        
        % 更新猜测之前存储当前值作为上一次的猜测
        x_prev = x;
        
        % 更新猜测
        x = x - fx / dfx;
        
        % 检查收敛，这次是基于新旧值的差异
        if abs(x - x_prev) < tol
            fprintf('Found solution after %d iterations: x = %f\n', i, x);
            return;
        end
    end
    
    fprintf('Solution did not converge after %d iterations. Last approximation was x = %f\n', maxIter, x);
end

这段代码定义了一个名为newtonMethodExample的函数，它实现了牛顿法来找到给定方程的根。函数开始于一个初始猜测($x_0=0.5$)，并在满足容忍度条件或达到最大迭代次数时停止迭代。每次迭代计算当前点的函数值和导数值，然后根据牛顿法的公式更新猜测。
要运行这个函数，只需要在MATLAB的命令行窗口调用函数，它将执行迭代过程，并输出找到的解和迭代次数。
代码的运行结果为：

可得经过6次迭代后，我们找到了方程$f(x)=cos(x)-x^3$ 的一个根，其值约为 0.865474。这个例子展示了牛顿法在求解更复杂的非线性方程中的应用，以及它快速收敛到解的能力。