The Black-Scholes-Merton model

在 1970 年代，Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton 提出了一个重要的欧式期权定价模型。这个模型基于以下 7 条假设：

股票价格符合伊藤过程
允许卖空证券并充分利用收益
没有交易费用和税，所有证券完全可分割
在期权期限内，股票不支付股息
不存在无风险套利机会
证券交易连续进行
无风险利率是常数并且对所有期限相同

注意，这其中并不包含风险中性假设。从根本上讲，风险中性假设只是一个数学上的求解技巧，即使不使用这个技巧，一样可以通过暴力求解 PDE 得到同样的结果（Feynman-Kac Theorem）。这一点非常重要，因为真实世界明显不是风险中性的，BSM 公式也不可能基于这么一个不靠谱的假设。

14.6 Black-Scholes-Merton 微分方程

根据假设，股票的价格服从以下伊藤过程：

我们的目标，也就是以该股票为标的物的看涨期权的价格肯定是和的函数。根据伊藤引理，得到：

这是一个随机微分方程，我们很难直接求解。于是我们希望利用和的线性组合消去其随机项。

构造一个 portfolio ，其中和分别是股票和看涨期权的数量。为了消除随机项，我们需要：

我们可以令，。

值得注意的是，我们通过这样实际构造了一个无风险的 portfolio，同时，股票的数量也是 Greeks 里面的 delta。 由于这是一个无风险的 portfolio，其波动率为 0，期望收益等于无风险利率。因此：

并且

带入得：

这就是 Black-Scholes-Merton 微分方程。这个方程的精妙之处在于我们消掉了随机项和期望收益率这两个非常复杂的部分。

这个方程有很多解，对应于各种衍生品。假设一个衍生品不满足这个微分方程，例如，则该衍生品不可能存在，因为一定存在套利机会。

14.7 风险中性定价

我们注意到，推导出的 Black-Scholes-Merton 微分方程不含期望收益，这也从证明了我们在用二叉树进行定价时的风险中性假设的正确性。因为它与投资人的风险偏好无关。我们就可以放心使用风险中性假设简化计算。

假设从标的物获得的期望收益就是无风险利率
计算衍生品的期望的 payoff
将期望的 payoff 折现，折现率也等于无风险利率

例

假设一个远期合约多头到期日为，执行价格为，目前现货价格是，无风险利率为，则远期合约价格为？

假设到期日标的物价格为，则利用以上三个步骤，可以得到：

由于我们的期望收益率为无风险利率，则有，带入可以得到：

这符合我们利用无套利假设得出的结论。

14.8 Black-Scholes-Merton 定价公式

在这里，我们将利用风险中性定价原理来推导 BSM 定价公式。这样可以避免解偏微分方程的复杂度。

14.8.1 计算 payoff 期望

以欧式看涨期权为例，其在到期日的 payoff 为。它的价格应该为 payoff 的期望折现后的值。因此问题转化为求：

其中代表股票价格为的概率。那么如何得到呢？

我们已经假设服从伊藤过程：

令，由伊藤引理，可以得到：

因此股票价格 取对数后 的变化量服从正态分布。

为了表示方便，我们记作服从。

令，则服从标准正态分布。并有。

我们可以将 payoff 期望改写为：

分为两部分：

其中为标准正态分布密度函数：

我们将该式代入第一部分，得到：

假设表示标准正态分布变量小于的概率，则：

同理，对于第二部分，有：

其中：

因此得出结论：

其中：

14.8.2 应用风险中性假设

我们在 14.7 中已经证明了可以使用风险中性定价。那么期望收益和贴现率都等于无风险利率。代入 14.8.1 得出的 payoff，贴现后得出该欧式看涨期权价格：

其中：

利用 put-call-parity：

可以算出对应的欧式看跌期权的价格：

例 1

某欧式看跌期权执行价格为 50$，期限为 3 个月。标的股票当前价格为 50$，波动率为 30%每年。无风险利率为 10% 每年。计算该欧式看跌期权的价格。
如果在 2 个月后将派发 1.5$ 的股息，结果会如何变化？

将，，，，代入 BSM 公式。可以得到：

其中：

有，。

因此。

如果两个月后会派发股息，说明现在的股票价格中包含了股息贴现后的价值。在应用 BSM 公式之前，我们需要先将其去掉。因此：

再按照以上的方法计算，得到。

这符合我们之前的结论，对于派发股息的股票，看跌期权价值会升高

例 2

股票价格为 $40，期望回报率为 15%，波动率为 25%。则 2 年收益率的概率分布是什么？

股票价格变化满足对数正态分布，即：

假设要求的收益率为，满足：

则显然

因此收益率的分布为。

例 3

某股票价格服从几何布朗运动，期望回报率为 16%，波动率为 35%，当前价格为 $38。
(a). 某欧式看涨期权执行价格为 $40，到期日为 6 个月后，求它行权的概率。
(b). 与(a)中对应的欧式看跌期权的行权概率是多少

已知股票价格符合几何布朗运动，即满足：

那么有：

求行权概率实质上是求的概率。因此：

代入，得到该欧式看涨期权行权概率为。

看跌期权行权概率即的概率，即。

例 4

考虑一个衍生品，其在时刻 payoff 为，其中是标的股票在时刻价格，服从几何布朗运动。它在时刻的价格可以表示为，其中表示时刻股票价格，是关于和的函数。

(a) 利用 BSM 偏微分方程推导的微分方程

(b) 的边界条件是什么

(c) 求出

(a)
将价格表示为。则该价格满足微分方程：

我们可以算出

代入有：

(b)

满足边界条件

(c)

上式满足

令，则有：

得出

其中为常数。再根据边界条件，得出：

因此：

例 5

(a) 证明：在风险中性世界中，一个欧式看涨期权被行权的概率等于。

(b) 假设一个衍生品 payoff 为 $100 如果股票价格大于，求该衍生品的价格。

(a)

欧式看涨期权被行权的概率是。而满足：

由于对数函数的单调性，，且在风险中性世界中，有，则：

(b)

利用上面的结论，可以得到该衍生品收益期望为，贴现后的即为当前价格：

例 6

某银行的某款理财产品保证投资者在 6 个月后得到：

a. 0，如果股指下跌

b. 40% 股指收益

用股指期权来描述该产品的收益。

假设无风险利率是 8%，股息是 3%，波动率是 25%，这个理财产品值得买吗？

假设目前股指是，6 个月后股指为。我们可以知道其收益为：

因此其实际上是相当于 0.4 倍的执行价格为的欧式看涨期权的收益。

我们可以计算执行价格为，到期日为 6 个月的欧式期权的价值：

其中

将，，，，代入：

假设投资金额为，该理财产品的现金流相当于在 0 时刻，免费获得了份看涨期权，其代价是剩余的资金无法赚取无风险利率。我们需要比较期权的价格以及无风险利率的收益。

现在我们假设有两个 portfolio A 和 B。

A：全额购买该理财产品
B：购买了份看涨期权，剩余资金用于赚取无风险利率

显然 B 购买的期权具有和 A 完全一致的 payoff。我们只需要比较其余资金。

对于 A，六个月后会获得外加 payoff。

对于 B，除了与 A 一致的 payoff，还有：

因此显然该理财产品不划算。

14.4 计算历史波动率

在 B-S-M 模型中，唯一难以确定的参数就是波动率。在实际中，不能直接使用历史波动率，但是可以作为重要参考。以下提到的波动率都指历史波动率，而非实际（隐含）波动率。

用于衡量股票回报率的不确定性。我们将波动率定义为 连续复利下股票 1 年中回报率的标准差。它一般在 15% 到 60% 之间。

连续复利下的股票回报率可以表示为：

我们已经假设：

因此回报率满足：

假设我们已经知道以某个较小采样间隔（例如每周）的股票回报率历史数据，我们可以估计其方差。

假设第个内的回报率为，其平均值为。对于方差的无偏估计可以表示为：

也可以写为：

然后根据下式求波动率的估计：

这个表示一年时间，假设是周，那么。

例 1

假设我们观察到某个股票在连续 15 个周五的价格为：30.2; 32.0; 31.1; 30.1; 30.2; 30.3; 30.6; 33.0; 32.9; 33.0; 33.5; 33.5; 33.7; 33.5; 33.2。
(a) 估算该股票的波动率
(b) 这个波动率的估计的标准差是多少？

#	股票价格()	相对价格()	周回报率()
1	30.2
2	32.0	1.05960	0.05789
3	31.1	0.97188	-0.02853
4	30.1	0.96785	-0.03268
5	30.2	1.00332	0.00332
6	30.3	1.00331	0.00331
7	30.6	1.00990	0.00985
8	33.0	1.07843	0.07551
9	32.9	0.99697	-0.00303
10	33.0	1.00304	0.00303
11	33.5	1.01515	0.01504
12	33.5	1.00000	0.00000
13	33.7	1.00597	0.00595
14	33.5	0.99407	-0.00595
15	33.2	0.99104	-0.00900

(a)

首先计算得到：

计算得

(b)

这个估计本身的标准差为

第十四章：Black-Scholes-Merton 模型