高中奥数 2021-09-09

2021-09-09-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P038 例3）

如图,设、是定点,是动点,且是定角,其中,.的内切圆在边、、上的切点分别为、、,分别与直线、交于点、.证明:线段的长是定长,且的外接圆过一个定点.

图1

证明

取线段的中点.

因.

所以、、、四点共圆.

又、、、四点共圆,则、、、、五点共圆.

同理,、、、、五点共圆.

从而,,.

因此,点、均在以为直径的圆上.

则.

故、、、四点共圆.

因此,的外接圆过定点.

另一方面,为定值.

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2021-09-09-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P039 例4）

如图,是圆的直径.与是互异的圆上的两点,且在的一侧.过、作圆的切线交于点.线段与交于点,直线交于.求证:,,,共圆.(2010年西部数学奥林匹克)

图2

证明

连结、、、.

由,知.

所以,.

又,则.

故.

于是,.

因此,、、、、五点共圆.