四元数如何进行标准化？

假设有一个四元数的张量 r，它包含了两个四元数：

$r=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 3& 2& 1\end{array}\right]$
这里，第一个四元数是 $q_1=(1,2,3,4)$，第二个四元数是 $q_2=(4,3,2,1)$。

首先，我们计算每个四元数的模（长度）：

$norm(q_1)=\sqrt{1^2+2^2+3^2+4^2}=\sqrt{30}$

$norm(q_2)=\sqrt{4^2+3^2+2^2+1^2}=\sqrt{30}$

所以，norm 张量是 $\sqrt{30},\sqrt{30}$。r 的形状是 (2, 4)，而 norm 的形状是 (2,)，为了让除法可以在每个四元数上都进行计算，需要将 norm 从 (2,) 转换成 (2, 1) 形状，这样每个模值就可以扩展到对应四元数的每个分量上了。

因此，代码：

norm = torch.sqrt(torch.sum(r**2, axis=1))
q = r / norm[:, None]

norm[:, None] 把 norm 从形状 (2,) 转换为 (2, 1)。则norm 为：

$norm=\left[\begin{array}{c}\sqrt{30}\\ \sqrt{30}\end{array}\right]$

之后逐元素（element-wise）进行除法的（每个四元数都被其模除），故每个四元数被标准化：

$q=\left[\begin{array}{cccc}1/\sqrt{30}& 2/\sqrt{30}& 3/\sqrt{30}& 4/\sqrt{30}\\ 4/\sqrt{30}& 3/\sqrt{30}& 2/\sqrt{30}& 1/\sqrt{30}\end{array}\right]$

这样，每个四元数的长度（模）就被标准化为1了。进行旋转操作时需要对四元数标准化，因为旋转不应该改变对象的大小，只改变其方向。