多重背包问题 Ⅰ&Ⅱ &Ⅲ

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出
输出一个整数，表示最大价值。

Input
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

Output
10

根据不同的数据范围，有不同的选择

Ⅰ.  数据范围   0     

直接写

//代码一
#include 
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=510,M=6010;
int n,m;
int v,w,s;
int f[N][M];
void solve()
{
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v>>w>>s;
        for (int j=1;j<=m;j++)
        for (int k=0;k<=s&&k*v<=j;k++)
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v]+k*w);
    }
    cout<>T;
    while (T--) solve();
    return 0;
}


//代码二:降一维
#include 
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=510,M=6010;
int n,m;
int v,w,s;
int f[M];
void solve()
{
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v>>w>>s;
        for (int j=m;j>=v;j--)
        for (int k=0;k<=s&&k*v<=j;k++)
        f[j]=max(f[j],f[j-k*v]+k*w);
    }
    cout<>T;
    while (T--) solve();
    return 0;
}

Ⅱ.  数据范围   0

通过二进制将每种物品按照个数的不同重新打包，再按01背包的方式选择

#include 
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=1e6+10;
int n,m;
int f[N],v[N],w[N];
int cnt;
void solve()
{
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b,s;
        cin>>a>>b>>s;
        int k=1;
        while (k<=s)
        {
            cnt++;
            v[cnt]=k*a;
            w[cnt]=k*b;
            s -=k;
            k *=2;
        }
        if (s>0)
        {
            cnt++;
            v[cnt]=s*a;
            w[cnt]=s*b;
        }
    }
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
    for (int j=m;j>=v[i];j--)
    f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    cout<>T;
    while (T--) solve();
    return 0;
}

Ⅲ.  数据范围   0

通过单调队列来更新状态

//代码一
#include 
using namespace std;
//#define int long long         //不开就不开吧
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=1010,M=2e4+10;
int n,m;
int f[N][M],q[M];
void solve()
{
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        for (int j=0;js*v) hh++;      //判断队头是否滑出窗口，队列中的v不能超过上限s个
                while (hh<=tt&&f[i-1][q[tt]]-(q[tt]-j)/v*w<=f[i-1][k]-(k-j)/v*w) tt--;
                q[++tt]=k;
                f[i][k]=f[i-1][q[hh]]+(k-q[hh])/v*w;
            }
        }
    }
    cout<>T;
    while (T--) solve();
    return 0;
}


//代码二 降一维
#include 
using namespace std;
//#define int long long         //不开就不开吧
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=2e4+10;
int n,m;
int f[N],g[N],q[N];
void solve()
{
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        memcpy(g,f,sizeof f);       //滚动数组，备份上一次的状态
        for (int j=0;js*v) hh++;      //判断队头是否滑出窗口，队列中的v不能超过上限s个
                while (hh<=tt&&g[q[tt]]-(q[tt]-j)/v*w<=g[k]-(k-j)/v*w) tt--;
                q[++tt]=k;
                f[k]=g[q[hh]]+(k-q[hh])/v*w;
            }
        }
    }
    cout<>T;
    while (T--) solve();
    return 0;
}