高中奥数 2021-12-20

2021-12-20-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（二） P066 习题5）

设多项式,有复根、、、,,.若复数满足,求证:.

证明

$\begin{aligned} \left|P\left(x_{0}\right)\right|^{2}&=P\left(x_{0}\right)\cdot \overline {P\left(x_{0}\right)}\\ &=\prod\limits_{j=1}^{n}\left(x_{0}-x_{j}\right)\left(\overline{x_{0}}-\overline{x_{j}}\right)\\ &=\prod\limits_{j=1}^{n}\left(\left|x_{0}\right|^{2}-x_{0}\overline{x_{j}}+\left|x_{j}\right|^2\right).(1) \end{aligned}$

由平均不等式有

$\begin{aligned} &\left[\prod\limits_{j=1}^{n}\left(\left|x_{0}\right|^{2}-x_{0}\overline{x_{j}}+\left|x_{j}\right|^2\right)\right]^{\frac{1}{n}}\\ \leqslant&\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\left(\left|x_{0}\right|^{2}-x_{0}\overline{x_{j}}-\overline{x_{0}}x_{j}+\left|x_{j}\right|^{2}\right)\\ =&\dfrac{1}{n}\left[n\left|x_{0}\right|^{2}-x_{0}\sum\limits_{j=1}^{n}\overline{x_{j}}-\overline{x_{0}}\sum\limits_{j=1}^{n}x_{j}+\sum\limits_{j=1}^{n}\left|x_{j}\right|^{2}\right]\\ =&\left|x_{0}-\alpha\right|^{2}+\beta^{2}-\left|\alpha\right|^{2}\\ <&1, \end{aligned}$

故代入(1)即知,证毕.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（二） P066 习题6）

设是正整数,为复数,对任意的,不等式成立.证明:

证明

表达式可以加在一起,有个加数.首先证明:

根据性质:对于、 ,平行四边形中有等式成立,下面我们用数学归纳法证明(1).

当时,(1)式显然成立.

假设,且对于,(1)式成立.

下面证明对于,(1)式也成立

$\begin{aligned} & \sum_{\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n} \in\{-1,1\}}\left|\varepsilon_{1} z_{1}+\varepsilon_{2} z_{2}+\cdots+\varepsilon_{n-1} z_{n-1}+\varepsilon_{n} z_{n}\right|^{2} \\ =& \sum_{\varepsilon_{1}, \cdots,} \sum_{\varepsilon_{n-1} \in\{-1,1\}}\left(\left|\varepsilon_{1} z_{1}+\cdots+\varepsilon_{n-1} z_{n-1}+z_{n}\right|^{2}+\left|\varepsilon_{1} z_{1}+\cdots+\varepsilon_{n-1}-z_{n}\right|^{2}\right) \\ =& \sum_{\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n-1} \in\{-1,1\}}\left(2\left|\varepsilon_{1} z_{1}+\cdots+\varepsilon_{n-1} z_{n-1}\right|^{2}+2\left|z_{n}\right|^{2}\right) \\ =& 2 \sum_{\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n-1} \in\{-1,1\}}\left(\left|\varepsilon_{1} z_{1}+\cdots+\varepsilon_{n-1} z_{n-1}\right|^{2}+\left|z_{n}\right|^{2}\right) \\ =& 2\left[2^{n-1}\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots+\left|z_{n-1}\right|^{2}\right)+2^{n-1}\left|z_{n}\right|^{2}\right] \\ =& 2^{n}\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+\cdots+\left|z_{n}\right|^{2}\right), \end{aligned}$

故(1)式成立.

对于的所有选择,现将下面的不等式相加得,故,证毕.

2021-12-20-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（二） P066 习题7）

已知复系数多项式.求证:存在一个复数满足,且

证明

将乘以一个模长为1的单位向量,可使,再将乘以一个单位向量,可使.现在,如果对任意,均有,记则的复根的模长都大于1,特别地,.于是,将分解因式有

其中 ,且,,这导致,矛盾.

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