高中奥数 2021-11-02

2021-11-02-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P098 习题05）

设为内一点,令,,.求证:.

证明

如图,以为反演中心,单位长度为反演幂,设、、的反点分别为、、,因点在内,所以,点也在内,由定理1,,,所以;同理,.

图1

又由定理2,有,,,对用正弦定理并将上面三式代入即得即等价于所证.

2021-11-02-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P098 习题06）

在弓形中,内接一对相切的圆,对每一对相切的圆,通过它们的切点引公切线.证明:所有的切线通过一个点.

图2

证明

法一

设是两圆、的切点.

作以为反演中心的反演变换,于是,在点处相切的两圆反形为一对平行直线,而和它们相切的弦和弧,变为和且,公切线变为,且与、平行.

图3

所以,直线垂直平分换言之,过点、、的弧平分弓形角、且垂直直线.

然而,恰存在一个过点、的圆,平分、(它的中心是从点、分别向、的平分线引的垂线的交点),直线垂直这个圆,因此,通过它的中心.

于是,条件中所有直线都通过点.

法二

如图,连结两个切点、及、.

图4

设它们相交于M则由“圆的初步”习题19的引理知为优弧的中点(为定点).

且由有,从而.

同理.

故,在与的根轴上.

而是两圆的公切线,也是两圆的根轴.

故在上,即所有切线都过定点.

2021-11-02-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P098 习题07）

如图,在线段上取点,以线段、、为直径分别作圆,与这三个圆都相切.证明:的直径等于它的圆心到直线的距离.

图5

证明

以点为反演中心作反演变换.

以、、为直径的圆分别反演成直线、、以为直径的圆,且直线、与垂直,反演成,且与直线、及以为直径的圆都相切.

图6

由于、关于点位似,所以,的直径与圆心到的距离的比等于的直径与圆心到的距离的比.

易知后者的比值为.

2021-11-02-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P099 习题08）

已知圆内接四边形,直线和交于点,且点在点、之间,对角线、交于,设点为边的中点,点是的外接圆上的不同于的点,且满足.证明:、、三点共线.

证明

延长、交于点,则直线即为点关于的极线.(定理1)

图7

欲证在直线上,只需证对的极线过点.

设外接圆为,因为、、、均在上,且.,故为调和四边形.

所以点、处的两条切线交于直线上,设为,取中点.

由第四章习题第15题结论知,点对的幂等于点对外接圆的幂.

过作于,则、、、、共圆.

则为的幂等于对外接圆的幂.

从而点在关于的极线上,故结论成立,得证.