关于线性代数的维度的一些逼逼叨叨

零空间

零空间是齐次线性方程组的解的空间，其维度等于自由变量的个数。

这个原因在于方程的解实际上有自由变量决定，自由变量有几个，就需要几维的空间来放下互不干扰的自由变量，这个空间实际上就是零空间。

显然可以看出，零空间是矩阵空间的一个子空间。

零空间的基底如何决定呢？

考察一个矩阵，

x₃,x₄是自由变量，而x₁=-2x₃-x₄, x2=-x₄，所以基底是{(-2,0,1,0)^T, (-1,-1,0,1)^T}。

基底的个数直接决定了子空间的维度，而基底本身的维度等于列向量的个数，也就是n，这个可以从求解的过程中看出。

基底的数值由自由变量对应的列向量决定。注意到，列向量和基底的维度不同，所以不能直接对应，而是应该取列向量的相反数，再加上一些相应的0和1，补足基底。

列空间

列空间是各个列向量张成的空间。显然它应该等价于最简矩阵的主元列张成的空间，而这些主元列就是列空间的基底。

基底的维度决定了列空间的维度。对于一个mn的矩阵来说，列空间基底有m个维度，所以列空间的维度就是m吗？

不是。

事实上，基底的维度与基底张成的空间的维度并不相等。显然两个三维空间中的二维向量只能张成一个三维空间中的二维平面。

实际上，列空间的维度等于主元的个数。而这也被称为矩阵的秩。这是因为主元个数代表了线性独立的列向量的个数，而这些线性独立的列向量恰恰可以作为列空间的一组基底。

不对，这里有问题。

考察矩阵~

其列空间并不能单纯由化简后的主元列张成：

必须由主元回到原矩阵的指定行，来找到指定的列，才能张成整个空间。

而基底的个数决定了子空间的维度。这句话对于任何子空间都适用。

基底中的任意一个向量的维数，等于空间的维度。（子空间与空间并不相同）

有一个有趣的事实是，主元个数+自由变量个数=列数。所以列空间和零空间的维度之和等于列数。

行空间

行空间与列空间类似，行空间是行向量张成的空间。

行空间的基底个数等于主元的个数，所以行空间的维度=主元数=列空间维度。这也说明了矩阵的行秩和列秩相等。

如何求行空间的基底呢？

首先我们可以把矩阵转置，那么行空间就变成新矩阵的列空间，再求列空间即可。

下面寻求一种通用的解法。

召唤一个矩阵：

通过主元得到秩 r=2​。下面是关键：

对于A来说，行空间的基是R的前r行，即:

为什么会有这样子的结论？因为化简实际上每一步都行等价，最后得到的就是线性独立的行向量，所以这就可以作为一组基底。

左零空间

召唤一个矩阵：

A^T的零空间就是A的左零空间()，所以可以先转置再求零空间。

但注意到

所以可以用一种类似求逆矩阵的方法来求x：

将A转化成最简矩阵E，从而I转化成矩阵R。实际上R记录着A是如何转化成I的，即有

.

求出R的目的是得到R的最后一行，记作R_last。

有

如果不是而是有主元，那么A就是一个可逆矩阵，从而必然导致零空间或者左零空间等于0

所以显然，从而求出了左零空间。