【集训笔记】母函数【母函数模板】【HDOJ1028【HDOJ1085

以下资料摘自 http://www.cnblogs.com/wally/archive/2012/07/13/hdu1028_1085_1171_.html

生成函数是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数，看到最多的是这样两句话：

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。”

2.“把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “

 

例子：

有1克、2克、3克、4克砝码各一枚，问能称出哪几种重量？每种重量各有几种方案？

下面是用母函数解决这个问题的思路：

首先，我们用X表示砝码，X的指数表示砝码的重量。那么，如果用函数表示每个砝码可以称的重量，

1个1克的砝码可以用函数X^0 + X^1表示，

1个2克的砝码可以用函数X^0 + X^2表示，

依次类推。

如果我们把上面2个多项式相乘，可以得到X^0 + X^1 + X^2 + X^3。继续把它与X^0 + X^3相乘，得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + X^4 + X^5 + X^6。

接着把它与X^0+X^4相乘，最后得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + 2*X^4 + 2*X^5 + 2*X^6 + 2*X^7 + X^8 + X^9 + X^10。

由于X的指数表示的是重量，所以，在相乘时，根据幂的运算法则（同底幂相乘，指数相加），得到的结果正是所有的方案。而且，每个X前面的系数代表它有几种方案。

需要注意的是，如果有2个1克的砝码，应该用X^0 + X^1 + X^2表示，而不是X^0 + 2*X^1。

 

母函数还可以解决其他问题，比如，整数划分。

整数划分是个很经典的问题，划分规则就不再细述，直接说思路。与上面的问题相比，每种砝码的个数不再是1个，而是无限个。于是，

1克的砝码可以用X^0 + X^1 + X^2 + X^3 ……表示，

2克的砝码可以用X^0 + X^2 + X^4 + X^6……表示，

3克的砝码可以用X^0 + X^3 + X^6 + X^9……表示，

依次类推。

相乘后求出X^n的系数，就是结果。

 

总而言之，解决此类问题，只要模拟好2个多项式相乘就好了。

大概思路是开2个数组，c1[ ]保存当前得到的多项式各项系数，c2[ ]保存每次计算时的临时结果，当每次计算完毕后，把它赋给c1，然后c2清零。

计算的时候，开3层for循环。最外层，记录它正在与第几个多项式相乘。第二层，表示c1中的每一项，第三层表示后面被乘多项式中的每一项。

 

hdu 1028 整数分解【模板】：

 1 #include<iostream>

 2 #include<cstdio>

 3 using namespace std;

 4 const int lmax=40007;

 5 int c1[lmax],c2[lmax];

 6 //G(x)=(1+x+x^2+x^3+...)*(1+x^2+x^4+...)*(1+x^3+x^6+...)+..

 7 int main()

 8 {

 9     int n;

10     while(cin>>n)

11     {

12         for(int i=0;i<=n;i++)

13         {

14             c1[i]=1;//用来保存当前得到的多项式的各项系数

15             c2[i]=0;//用来保存每次计算时的临时结果

16         }

17         for(int i=2;i<=n;i++)//记录c1正在与第几个多项式进行运算

18         {

19             for(int j=0;j<=n;j++)//c1中的每一项前的系数

20             {

21                 for(int k=0;k+j<=n;k+=i)//表示被乘多项式的每一项的系数

22                 {

23                     c2[k+j]+=c1[j];//每计算一次并把它赋给用于临时保存数据的c2

24                 }

25             }

26             for(int j=0;j<=n;j++)

27             {

28                 c1[j]=c2[j];//每次计算完毕后，就把它赋给c1

29                 c2[j]=0;//然后c2清零

30             }

31         }

32         cout<<c1[n]<<endl;

33     }

34 }

HDOJ1085：Holding Bin-Laden Captive!

这题WA了几次后发现，是在特殊处理时候不到位导致的= = ，比如：

input:

1 0 0

output:

1

这是错的= = 应该为：

input:

1 0 0

output:

2

自己按照模板打的代码：

 1 #include <stdio.h>

 2 #include <string.h>

 3 

 4 int main(){

 5     int i,j,x,y,z,max,min;

 6     int c1[10000],c2[10000];

 7     while(EOF != scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)){

 8         max = x + 2 * y + 5 * z;

 9         min = max+1;

10         if(x == 0 && y == 0 && z == 0)  break;

11         memset(c1,0,sizeof(c1));

12         memset(c2,0,sizeof(c2));

13         for(i=0;i<=x;i++)

14             c1[i] = 1;

15         for(i=0; i<=x; i++)

16             for(j=0; j<=y*2; j+=2)

17                 c2[j+i] += c1[i];

18         for(i=0;i<=x+2*y;i++){

19             c1[i] = c2[i];

20             c2[i] = 0;

21         }

22         for(i=0; i<=x+2*y;i++)

23             for(j=0; j<=z*5; j+=5)

24                 c2[j+i] += c1[i];

25         for(i=0;i<=x+2*y+5*z;i++){

26             c1[i] = c2[i];

27             c2[i] = 0;

28         }

29         for(i=0;i<=max;i++){

30             if(c1[i] == 0){

31                 min = i;

32                 break;

33             }

34         }

35         printf("%d\n",min);

36     }

37     return 0;

38 }