(1)鸽舍原理,也称“抽屉原理”或利克雷原则,它是一个重要而又基本的数学原理,应用它可以解决各种有趣的问题,并且常常能够得到令人惊奇的结果,许多看起来相当复杂,甚至无从下手的问题,利用它能很容易得到解决。
原理1:把n+1个元素分成n类,不管怎么分,则一定有一类中有2个或2个以上的元素。
原理2:把多于m×n个物体放到n个抽屉里,那么一定有一个抽屉里有m+1个或者m+1个以
上的物体。
原理2-1:把m个元素任意放入n(n<m=个集合,则一定有一个集合呈至少要有k个元素。
其中 k= m%n(当m%n==0)或k=m%n+1(当m%n<>0)
(抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有 n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。” )
(2) 应用抽屉原理解题的步骤
第一步:分析题意。分清什么是“东西”,什么是“抽屉”,也就是什么作“东西”,什
么可作“抽屉”。
第二步:制造抽屉。这个是关键的一步,这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论,结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系,设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路。
第三步:运用抽屉原理。观察题设条件,结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则,以求问题之解决。
例1、 教室里有5名学生正在做作业,今天只有数学、英语、语文、地理四科作业
求证:这5名学生中,至少有两个人在做同一科作业。
证明:将5名学生看作5个苹果
将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉,共4个抽屉
由抽屉原理1,一定存在一个抽屉,在这个抽屉里至少有2个苹果。
即至少有两名学生在做同一科的作业。
例2、 木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球?
解:把3种颜色看作3个抽屉
若要符合题意,则小球的数目必须大于3
大于3的最小数字是4
故至少取出4个小球才能符合要求
答:最少要取出4个球。
例3、 班上有50名学生,将书分给大家,至少要拿多少本,才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。
解:把50名学生看作50个抽屉,把书看成苹果
根据原理1,书的数目要比学生的人数多
即书至少需要50+1=51本
答:最少需要51本。
例4、 在一条长100米的小路一旁植树101棵,不管怎样种,总有两棵树的距离不超过1米。
解:把这条小路分成每段1米长,共100段
每段看作是一个抽屉,共100个抽屉,把101棵树看作是101个苹果
于是101个苹果放入100个抽屉中,至少有一个抽屉中有两个苹果
即至少有一段有两棵或两棵以上的树
例5、 11名学生到老师家借书,老师是书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本
试证明:必有两个学生所借的书的类型相同
证明:若学生只借一本书,则不同的类型有A、B、C、D四种
若学生借两本不同类型的书,则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种
共有10种类型
把这10种类型看作10个“抽屉”
把11个学生看作11个“苹果”
如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉
由抽屉原理,至少有两个学生,他们所借的书的类型相同
例6、 有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜
试证明:一定有两个运动员积分相同
证明:设每胜一局得一分
由于没有平局,也没有全胜,则得分情况只有1、2、3……49,只有49种可能
以这49种可能得分的情况为49个抽屉
现有50名运动员得分
则一定有两名运动员得分相同
例7、 体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的?
解题关键:利用抽屉原理2。
解:根据规定,多有同学拿球的配组方式共有以下9种:
{足}{排}{蓝}{足足}{排排}{蓝蓝}{足排}{足蓝}{排蓝}
以这9种配组方式制造9个抽屉
将这50个同学看作苹果
由抽屉原理k=50%9,可得,至少有6人,他们所拿的球类是完全一致的