POJ 2429 GCD & LCM Inverse ★(pollard-ρ && DFS枚举)
题目链接：
http://poj.org/problem?id=2429
题目大意：给定gcd(a,b)和lcm(a,b)（<2^63），求a和b，如果有多种情况，输出和最小的情况. 首先gcd(a,b) * lcm(a,b) = a*b，但是如果我们直接从a*b中分解因子的话，a*b是可能超过long long的，这样就不好处理了. 我们可以先把gcd(a,b)都分给a,b，因为他们的因子中都要有gcd(a,b).于是现在还剩下lcm(a,b)/gcd(a,b)了，于是我们先用pollard-rho给他分解因子. 那么还有一个问题，能随便分么？分出来的a,b虽然能保证a*b，但是能保证他们的gcd和lcm都是给定的么？不一定. 所以我们还需要注意分因数的过程中还要保证gcd和lcm的正确性. 但这个问题其实不难，因为a*b一定是不变的，所以我们只要保证gcd和lcm其中一个不变，另一个也就自然不变了.显然保证gcd比较简单. 我们知道lcm/gcd = p1^q1 * p2 ^q2 *……* pn^qn，其中p1,p2,……,pn是因子.我们只要保证某个数把某个pi全部取走，这样他们除了先前取走的gcd外再无公因数，则可保gcd正确.这样的话，2^63内的数所有不同的因子个数最多也就十几个，枚举无压力.
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using namespace std; //return a * b % m unsigned long long mul_mod(unsigned long long a, unsigned long long b, unsigned long long m){ //为了防止long long型a * b溢出，有时需要把乘法变加法 //且因为暴力加法会超时要使用二分快速乘法模（模仿二分快速幂模……） unsigned long long res = 0, tmp = a % m; while(b){ if (b & 1) { res = res + tmp; res = (res >= m ? res - m : res); } b >>= 1; tmp <<= 1; tmp = (tmp >= m ? tmp - m : tmp); } return res; } //return a ^ b % m long long exp_mod(long long a, long long b, long long m){ long long res = 1 % m, tmp = a % m; while(b){ if (b & 1){ //如果m在int范围内直接用下一式乘就可以，否则需要用下二式把乘法化加法，用快速乘法模 //res = (res * t) % m; res = mul_mod(res, tmp, m); } //同上 //t = t * t % m; tmp = mul_mod(tmp, tmp, m); b >>= 1; } return res; } /*-------------Miller-Rabin 素数测试 部分(用到上面mul_mod和exp_mod 素数return true)--------------*/ bool Miller_Rabin(long long n){ int a[5] = {2, 3, 7, 61, 24251}; //一般Miller_Rabin素数测试是随机选择100个a,这样的错误率为0.25^100 //但在OI&&ACM中，可以使用上面一组a，在这组底数下，10^16内唯一的强伪素数为46,856,248,255,981 if (n == 2) return true; if (n == 1 || (n & 1) == 0) return false; long long b = n - 1; for (int i = 0; i < 5; i ++){ if (a[i] >= n) break; while((b & 1) == 0) b >>= 1; long long t = exp_mod(a[i], b, n); while(b != n - 1 && t != 1 && t != n - 1){ t = mul_mod(t, t, n); b <<= 1; } if (t == n - 1 || (b & 1)) continue; else return false; } return true; } /*-------------Miller-Rabin 素数测试 部分--------------*/ /*-------------pollard-rho 大整数n因子分解 部分(用到mul_mod()和Miller-Rabin测试)--------------*/ long long factor[100]; //存n的素因子 long long nfactor, minfactor; long long gcd(long long a, long long b){ return b ? gcd(b, a%b) : a; } void Factor(long long n); void pollard_rho(long long n){ if (n <= 1) return ; if (Miller_Rabin(n)){ factor[nfactor ++] = n; if (n < minfactor) minfactor = n; return ; } long long x = 2 % n, y = x, k = 2, i = 1; long long d = 1; while(true){ i ++; x = (mul_mod(x, x, n) + 1) % n; d = gcd((y - x + n) % n, n); if (d > 1 && d < n){ pollard_rho(d); pollard_rho(n/d); return ; } if (y == x){ Factor(n); return ; } if (i == k){ y = x; k <<= 1; } } } void Factor(long long n){ //有时候RP不好 or n太小(比如n==4就试不出来……)用下面的pollard_rho没弄出来，则暴力枚举特殊处理一下 long long d = 2; while(n % d != 0 && d * d <= n) d ++; pollard_rho(d); pollard_rho(n/d); } /*-------------pollard-rho 大整数n因子分解 部分--------------*/ vector
> vfac; void find(long long n, long long &a, long long &b){ long long sum = (1LL << 62); long long suma; for (int i = 0; i < (1 << vfac.size()); i ++){ long long res = 1; for (size_t k = 0; k < vfac.size(); k ++){ if (i & (1 << k)){ for (int p = 0; p < vfac[k].second; p ++){ res *= vfac[k].first; } } } long long remain = n / res; if (res + remain < sum){ sum = res + remain; a = suma = res; b = remain; } if (res + remain == sum){ if (res < suma){ a = suma = res; b = remain; } } } return ; } int main(){ long long g, l, n; while(cin >> g >> l){ n = l / g; vfac.clear(); nfactor = 0; pollard_rho(n); long long tmp = n; for(int i = 0; i < nfactor; i ++){ int facnum = 0; while(tmp % factor[i] == 0){ tmp /= factor[i]; facnum ++; } vfac.push_back(make_pair(factor[i], facnum)); } long long a, b; find(n, a, b); cout << a * g << " " << b * g << endl; } return 0; }