### 《组合数学》

组合数学基础。

#@author:       gr
#@date:         2014-12-10
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一、排列、组合、二项式定理

1.1 加法、乘法原理

这章的知识基本用高中时的知识就可以解决了，分析每种情况，将所有情况相加。

1.2 排列与组合

排列： $P(n, n) = n!$
圆排列：n元集合S的r圆排列数为$$\dfrac{P(n,r)}{r} = \dfrac{n!}{r(n-r)!}$$
组合： $$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$

1.3 多重集合的排列与组合

1. 多重集合$ M = { \infty \cdot a_1 , \infty \cdot a_2, \cdots, \infty \cdot a_k }$ 的 r 排列数为 $$ k^r $$。
   
2. 多重集合$ M = { k_1 \cdot a_1 , k_2 \cdot a_2, \cdots, k_n \cdot a_n }$ 的 全排列数为$\dbinom{(k_1 + k_2 + \cdots + k_n)!}{k_1 ! k_2 !\cdots k_n!}$。
   
3. 多重集合$ M = { \infty \cdot a_1 , \infty \cdot a_2, \cdots, \infty \cdot a_k }$ 的 r 组合数为 $\dbinom{r + k - 1}{r}$

二、容斥原理与鸽巢原理

1. 容斥原理

$$ \mid \overline A \cap \overline {B} \cap \overline C \mid ~ = ~ \mid S \mid - (\mid A \mid + \mid B \mid + \mid C \mid) + (\mid A \cap B \mid + \mid A \cap C\mid + \mid B \cap C\mid) - \mid A \cap B \cap C \mid $$

2. 鸽巢原理

三、递推关系

1. 递推关系与特征方程解

• ** 齐次：**
  
• 非齐次：

2. 迭代法求解递归关系

3. Fibonacci & Catalan

四、生成函数

1. 形式幂级数

2. 生成函数性质

$$ G{1} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots = \dfrac{1}{1-x} $$

$$ G{k} = x + 2x^2 + 3x^3 + \cdots + nx^n + \cdots = \dfrac{x}{(1-x)^2} $$

$$G{a^k} = \dfrac{1}{1-ax}$$

$$ G{\dfrac{1}{k!}} = e^x$$

$$ G{k^2} = \dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}$$

$$ G{\binom{n+k}{k}} = \dfrac{1}{(1-x)^{n+1}}$$

3. 用生成函数求解递推关系

4. 生成函数在计数问题中的应用

五、$Polya$计数理论