一元线性同余方程

定义

a,b是整数，m是正整数，形如a * x ≡ b (mod m)，且x是未知数的同余式称为一元线性同余方程。

理论基础与求解

定理1:假设d = gcd(a , m)，假设对于整数xx和yy有 d = a * xx + m * yy。若d|b（d能够整出b），那么方程 a * x ≡ b (mod m)有一个解X满足式子 X = xx * (a/b) % m ，其中xx可以用扩展欧几里得算法获得。

扩展欧几里得算法详解见：http://www.cnblogs.com/heweiyou1993/p/3301873.html

 1 long long ExtendedEuclid(long long a,long long b,long long& d,long long& x,long long& y)

 2 {

 3     long long tmp;

 4     if(b == 0)

 5     {

 6         x = 1;

 7         y = 0;

 8         d = a;

 9     }else

10     {

11         ExtendedEuclid(b,a%b,d,x,y);

12         tmp = x;

13         x = y;

14         y = tmp - (a / b) * y;

15     }

16 }

扩展欧几里得源码：

证明1：假设上述成立那么有 a * X ≡ a * xx * (b/d)(mod m),由于a * xx ≡ d (mod m),所以可得到 a * X ≡ d * (b/d)(mod m) ≡ b(mod m)。

定理2：对于a * x ≡ b (mod m)，若有解则必有d = gcd( a, m)个解。其解为 res = (X + i * ( b / d)) (mod m)，其中X为远同余方程的一个解，i的取值范围为 0 <= i < d。

证明2：若定理2成立则有 a * res (mod m) = a * (X + i * (b / d)) (mod m) = a * X + a* i * (b /d) (mod m) = a * X (mod m) = b。

源代码如下：

 

 1 void RemainderEquation(long long a,long long b,long long m)

 2 {

 3     long long X,Y,d;

 4     long long res;

 5     ExtendedEuclid(a,m,d,X,Y);

 6 

 7     if(b%d == 0)

 8     {

 9         X = X * (b / d) % m;//得到同于方程一解

10         for(int i = 0 ; i < d; i++)

11         {

12             res = (X + (i * (b/d))) % m;

13             printf("%lld\n",res);

14         }

15     }else

16     {

17         printf("No Sulutions!\n");

18     }

19 }

最小正整数解

由于一元线性同余方程的通解可以写成res = ( X + i * (b /d) )  (mod m) = X + i * (m/d) + m * y，由于 y 与 i 均为变量因此可以将其合并得到式子 res = X + y * ( m/d)   （其中将原式中的 m * y 看做 m/d  * d * y，由于y是变量因此可以将 d*y这个整体看为 y）,因此可以得到res = X(mod m/d) ，设m/d 为 t ，其最小正整数解可表示为 (X%t + t) % t。