HDU 1695 GCD （容斥原理+欧拉函数）

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题意 ： 从[a,b]中找一个x，[c，d]中找一个y，要求GCD（x，y）= k。求满足这样条件的（x，y）的对数。（3，5）和（5，3）视为一组样例 。

思路 ：要求满足GCD（x，y）=k的对数，则将b/k，d/k，然后求GCD（x，y）=1的对数即可。假设b/k >= d/k ;对于1到b/k中的某个数s，如果s<=d/k，则因为会有（x，y）和（y，x）这种会重复的情况，所以这时候的对数就是比s小的与s互质的数的个数，即s的欧拉函数。至于重复的情况是指：在d/k中可能有大于s的与d/k互质的数，但是当你把这些加上了之后，当你继续在b/k中找完s之后再找比s大的数的时候会产生和之前加上的情况重复的情况。

当s > d/k时，s分解质因数后，质因数的次数不影响结果。我们看另外那个区间有多少个和s不互质（减一下就好了），于是我们只要看另外那个区间中有多少个数是s质因数的倍数就好了。区间[1..a]中 p的倍数 显然有 a/p个。 我们枚举s的质因数利用容斥原理：看另外那个区间有多少个数与s不互质。

容斥原理的具体如下：

          区间中与s不互质的个数 = （区间中s的每个质因数的倍数个数）-（区间中s的每两个质因数乘积的倍数）+（区间中s的每3个质因数的成绩的倍数个数）-（区间中s的每4个质因数的乘积）+...

          于是问题变成了统计每个数的不同质因数的个数而忽略次数。这个可以用筛法。具体做法如下：

          对每个数保存一个真质因数的列表。初始每个列表的长度为0。然后从2开始，分别检查每个数的列表长度，如果列表长度不为0，则这个数是合数，跳过；如果这个长度为0，则我们找到了一个质数，同时再把这个数的倍数（不包含本身）的列表里加入这个数。

参考

 1 //1695

 2 #include <iostream>

 3 #include <string.h>

 4 #include <stdio.h>

 5 

 6 using namespace std ;

 7 

 8 int a,b,c,d,k,zh[100010][10],sh[100010] ;

 9 __int64 ans,eu[100010] ;

10 

11 void eular()

12 {

13     eu[1] = 1 ;

14     for(int i = 2 ; i < 100010 ; i++)

15     {

16         if(!eu[i])

17         {

18             for(int j = i ; j < 100010 ; j += i)

19             {

20                 if(!eu[j]) eu[j] = j ;

21                 eu[j] = eu[j] / i * (i-1) ;

22                 zh[j][sh[j]++] = i ;

23             }

24         }

25         eu[i] += eu[i-1] ;

26     }

27 }

28 __int64 dfs(int s ,int b,int i)

29 {

30     __int64 ans1 = 0 ;

31     for (int j = s ;j < sh[i] ; j++)

32     {

33         ans1 += b /zh[i][j] - dfs(j+1,b/zh[i][j],i);

34     }

35     return ans1;

36 }

37 int main()

38 {

39     int T ;

40     scanf("%d",&T) ;

41     int cas = 1 ;

42     eular() ;

43     while(T--)

44     {

45         scanf("%d %d %d %d %d",&a,&b,&c,&d,&k) ;

46         if(k == 0){

47             printf("Case %d: 0\n",cas++) ;

48             continue ;

49         }

50         int maxx = max(b,d) ;

51         int minn = min(b,d) ;

52         maxx /= k ;

53         minn /= k ;

54         ans = eu[minn] ;

55         for(int i = minn + 1 ; i <= maxx ; i++)

56             ans += minn - dfs(0,minn,i) ;

57         printf("Case %d: %I64d\n",cas++,ans) ;

58     }

59     return 0 ;

60 }

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