第2章 数字之魅——不要被阶乘吓倒
不要被阶乘吓倒
问题描述
阶乘（Factorial）是个很有意思的函数，但是不少人都比较怕它，我们来看看两个与阶乘相关的问题：
问题1. 给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有两个0。
问题2. 求N！的二进制表示中最低位1的位置。
分析与解法
有些人碰到这样的题目会想：是不是要完整计算出N！的值？如果溢出怎么办？事实上，如果我们从"哪些数相乘能得到10"这个角度来考虑，问题就变得简单了。
首先考虑，如果N！= K×10M，且K不能被10整除，那么N！末尾有M个0。再考虑对N！进行质因数分解，N！=（2x）×（3y）×（5z）…，由于10 = 2×5，所以M只跟X和Z相关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是M = min（X, Z）。不难看出X大于等于Z，因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，所以把公式简化为M = Z。
根据上面的分析，只要计算出Z的值，就可以得到N！末尾0的个数。
问题1【解法一】
代码如下：
package chapter2shuzizhimei.jiecheng; /** * 不要被阶乘吓到 * 计算阶乘末尾有几个0
* 【解法一】 * @author Dell * */ public class JieCheng1 { /** * 计算阶乘末尾0的个数 * @param n 计算n！ * @return 末尾0的个数 */ public static int count(int n){ int num = 0; //记录末尾0的数量，也即5的次方数(由于2的次方数>=5的次方数) for(int i=1;i<=n;i++){ int j = i; while(j%5==0){ num++; j /= 5; } } return num; } public static void main(String[] args) { int n = 10; System.out.println(n+"！末尾0的个数为："+count(n)); } }
程序运行结果如下：
10！末尾0的个数为：2
问题1【解法二】
代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.jiecheng; 2 /** 3 * 不要被阶乘吓到 4 * 计算阶乘末尾有几个0 5 * 【解法二】 6 * @author Dell 7 * 8 */ 9 public class JieCheng2 { 10 /** 11 * 计算阶乘末尾0的个数 12 * @param n 计算n！ 13 * @return 末尾0的个数 14 */ 15 public static int count(int n){ 16 int num = 0; //记录末尾0的数量，也即5的次方数(由于2的次方数>=5的次方数) 17 while(n!=0){ 18 num += n/5; 19 n = n/5; 20 } 21 return num; 22 } 23 public static void main(String[] args) { 24 int n = 10; 25 System.out.println(n+"！末尾0的个数为："+count(n)); 26 27 } 28 29 }
程序运行结果如下：
10！末尾0的个数为：2
问题2：求N！的二进制表示中最低位1的位置
分析与解法：
乍一看，似乎，问题二与问题一没什么关系。然而，我们换一个角度思考，二进制中最低位1后面肯定是0，那么这里求最低位1的位置，即为求最低位1后面0的个数，而这，就和问题一是一样一样的，只不过一个是十进制表，一个是二进制表示。这里，所有小于N的数中，2的倍数都贡献一个0，4的倍数再贡献一个0，以此类推。
最关键：由于二进制表示其实是以2为基的表示，每出现一个2，末尾才会有一个0。所以只要找到N!中因子2的个数。
所以，这个问题实际上等同于求N！含有质因数2的个数。即答案等于N！含有质因数2的个数加1。
由于N! 中含有质因数2的个数，等于 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + … ，根据上述分析，得到具体算法，如下所示：
1 package chapter2shuzizhimei.jiecheng; 2 /** 3 * 不要被阶乘吓倒 4 * 【问题二】求n！的二进制表示中最低位1的位置 5 * 【解法一】 6 * @author DELL 7 * 8 */ 9 public class JieCheng1 { 10 /** 11 * 计算n！的二进制表示中最低位1的位置 12 * @param n 13 * @return 位置（从后向前数） 14 */ 15 public static int locate(int n){ 16 int num = 1; //记录n！中质因数2的个数+1 17 while(n!=0){ 18 n >>= 1; 19 num += n; 20 } 21 return num; 22 } 23 public static void main(String[] args) { 24 int n = 3; 25 System.out.println("n！的二进制表示中最低位1的位置为："+locate(n)); 26 } 27 28 }
程序运行结果如下：
n！的二进制表示中最低位1的位置为：2
【问题2的解法二】
N！含有质因数2的个数，还等于N减去N的二进制表示中1的数目。我们还可以通过这个规律来求解。
下面对这个规律进行举例说明，假设 N = 11011（二进制表示），那么N!中含有质因数2的个数为 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …
即： 1101 + 110 + 11 + 1
=（1000 + 100 + 1）
+（100 + 10）
+（10 + 1）
+ 1
=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1
= 1111 + 111 + 1
=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1）
= 11011-N二进制表示中1的个数
于是有如下算法：
1 package chapter2shuzizhimei.jiecheng; 2 /** 3 * 不要被阶乘吓倒 4 * 【问题二】求n！的二进制表示中最低位1的位置 5 * 【解法二】 6 * @author DELL 7 * 8 */ 9 public class JieCheng2 { 10 /** 11 * 计算n！的二进制表示中最低位1的位置 12 * @param n 13 * @return 位置（从后向前数） 14 */ 15 public static int locate(int n){ 16 int m = n; 17 int num = 0; //记录n的二进制表示中1的个数 18 while(m!=0){ 19 num += m&0x01; 20 m >>= 1; 21 } 22 23 return n-num+1; 24 } 25 public static void main(String[] args) { 26 int n = 3; 27 System.out.println("n！的二进制表示中最低位1的位置为："+locate(n)); 28 } 29 30 }
程序运行结果如下：
n！的二进制表示中最低位1的位置为：2
小结
任意一个长度为m的二进制数N可以表示为N = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 22 + … + b[m] * 2(m-1)，其中b [ i ]表示此二进制数第i位上的数字（1或0）。所以，若最低位b[1]为1，则说明N为奇数；反之为偶数，将其除以2，即等于将整个二进制数向低位移一位。
相关题目
给定整数n，判断它是否为2的方幂（解答提示：n>0&&（（n&（n-1））==0））。
该题目实际就是判断n的二进制表示中是否只有一个1，比较好的算法如下：
1 package chapter2shuzizhimei.jiecheng; 2 /** 3 * 不要被阶乘吓倒 4 * 【相关问题】给定整数n，判断它是否为2的方幂 5 * @author DELL 6 * 7 */ 8 public class JieCheng3 { 9 /** 10 * 判断n是否为2的方幂 11 * @param n 12 * @return 13 */ 14 public static boolean isThePower2(int n){ 15 if(n>0&&(n&(n-1))==0){ 16 return true; 17 }else{ 18 return false; 19 } 20 } 21 public static void main(String[] args) { 22 int n = 5; 23 if(isThePower2(n)) 24 System.out.println(n+"是2的方幂！"); 25 else 26 System.out.println(n+"不是2的方幂！"); 27 } 28 29 }
程序运行结果如下：
5不是2的方幂！