贪心算法-分数背包问题

贪心算法与分数背包问题详解

贪心算法简介

贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法策略。它在有最优子结构的问题中尤为有效。

分数背包问题

与0-1背包问题不同，分数背包问题允许将物品的部分装入背包。这意味着我们可以将一个物品分割成任意大小，并根据其重量比例来计算其价值。

问题分析

1. 单位价值：每个物品的单位价值是其价值与重量的比值，即val[i-1] / wgt[i-1]。
2. 贪心选择：按照单位价值从高到低对物品进行排序，然后依次考虑每个物品。

算法步骤

1. 排序：将所有物品按照单位价值从高到低排序。
2. 贪心循环：遍历排序后的物品列表，对于每个物品：
   • 如果物品重量小于等于剩余容量，将整个物品装入背包。
   • 如果物品重量大于剩余容量，只装入能够适应当前容量的部分。

流程图

物品重量小于等于容量

减少背包容量

物品重量大于容量

开始

初始化物品数组

对物品数组进行排序

初始化结果变量res

遍历排序后的物品数组

添加物品价值到res

继续遍历

计算剩余容量能装的价值

添加计算结果到res

结束遍历

返回最大价值res

结束

代码实现（C++）

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

class Item {
public:
    int w; // 物品重量
    int v; // 物品价值

    Item(int w, int v) : w(w), v(v) {}
};

bool compare(Item a, Item b) {
    return (double)a.v / a.w > (double)b.v / b.w;
}

double greedyFractionBag(vector<int>& wgt, vector<int>& val, int cap) {
    vector<Item> items(wgt.size());
    for (int i = 0; i < wgt.size(); i++) {
        items[i] = Item(wgt[i], val[i]);
    }
    sort(items.begin(), items.end(), compare);

    double res = 0;
    for (auto& item : items) {
        if (item.w <= cap) {
            res += item.v;
            cap -= item.w;
        } else {
            res += (double)item.v / item.w * cap;
            break;
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    vector<int> w = {10, 20, 30, 40, 50};
    vector<int> v = {50, 120, 150, 210, 240};
    int c = 50;
    cout << "Maximum value: " << greedyFractionBag(w, v, c) << endl;
    return 0;
}

总结

贪心算法在解决分数背包问题时展示了其高效性。通过合理地排序和贪心选择，我们可以得到一个接近或达到最优解的方案。

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C++学习资源

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