定义:
泰勒展开是将一个函数在某一点附近用无穷级数的形式表达出来。这种级数基于函数在该点的各阶导数。
公式:
设 f ( x ) f(x) f(x) 是在某点 a a a 处具有无穷导数的函数,则它在 a a a 点处的泰勒展开式为:
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x − a ) 3 + ⋯ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+3!f(3)(a)(x−a)3+⋯
常用形式(泰勒展开在 a = 0 a = 0 a=0 处的展开称为麦克劳林展开):
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \cdots f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+3!f(3)(0)x3+⋯
其中, f ( n ) ( a ) f^{(n)}(a) f(n)(a) 表示函数在点 a a a 处的第 n n n 阶导数, n ! n! n! 是 n n n 的阶乘。
适用场景:
局限性:
定义:
勒让德展开是将函数用一组正交多项式,即勒让德多项式来展开。勒让德多项式 P n ( x ) P_n(x) Pn(x) 是在区间 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1] 上的正交多项式,它们满足正交性条件:
∫ − 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 0 当 m ≠ n \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) dx = 0 \quad \text{当} \quad m \neq n ∫−11Pm(x)Pn(x)dx=0当m=n
勒让德多项式的递推公式:
勒让德多项式通过以下递推公式生成:
( n + 1 ) P n + 1 ( x ) = ( 2 n + 1 ) x P n ( x ) − n P n − 1 ( x ) (n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x) (n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)−nPn−1(x)
前几个勒让德多项式为:
P 0 ( x ) = 1 , P 1 ( x ) = x , P 2 ( x ) = 1 2 ( 3 x 2 − 1 ) , ⋯ P_0(x) = 1, \quad P_1(x) = x, \quad P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1), \cdots P0(x)=1,P1(x)=x,P2(x)=21(3x2−1),⋯
勒让德展开公式:
一个函数 f ( x ) f(x) f(x) 可以在区间 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1] 上通过勒让德多项式展开为:
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n P n ( x ) f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n P_n(x) f(x)=n=0∑∞anPn(x)
其中,系数 a n a_n an 可以通过正交性的性质计算得到:
a n = 2 n + 1 2 ∫ − 1 1 f ( x ) P n ( x ) d x a_n = \frac{2n + 1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_n(x) dx an=22n+1∫−11f(x)Pn(x)dx
适用场景:
局限性:
项目 | 泰勒展开 | 勒让德展开 |
---|---|---|
基于 | 函数的导数 | 勒让德多项式的正交性 |
适用区间 | 任意一点附近,尤其在 a a a 点附近 | [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1] 区间 |
应用场景 | 函数近似,局部线性化,物理和工程学中的小范围分析 | 球谐分析,量子力学,电磁场中的球对称问题 |
级数收敛性 | 依赖于函数在展开点附近的光滑性与导数性质 | 依赖于区间 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1] 上的函数特性 |
优点 | 在函数光滑时能够较好地逼近函数 | 正交性保证了在一定区间内的良好逼近 |
局限性 | 可能在某些区域不收敛或逼近较差 | 仅适用于固定区间,非球对称问题较少应用 |