C语言浮点数运算

 　　C语言标准C89里规定了3种浮点数，float型、double型和long double型，常见的浮点型长度为float型占4个字节，double型占8个字节，long double型长度要大于等于double型，下面将以float型为例进行介绍，double型和long double型只是比float型位数长，原理是一样的 。

　　float型可以表示的十进制范围是-3.402823466e³⁸~3.402823466e³⁸，而作为同为4个字节的定点数却只能表示-2147483648~2147483647的范围，使用同样的内存空间，浮点数却能比定点数表示大得多的范围，这是不是太神奇了？既然浮点数能表示这么大的范围，那么我们为何不使用浮点数来代替定点数呢？先不说浮点数实现起来比较复杂，有些处理器还专门配置了硬件浮点运算单元用于浮点运算，主要原因是浮点数根本就无法取代定点数，因为精度问题。鱼和熊掌不可兼得，浮点数表示了非常大的范围，但它失去了精度。

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ANSI/IEEE Std 754-1985标准
　　IEEE 754是最广泛使用的二进制浮点数算术标准，被许多CPU与浮点运算器所采用。IEEE 754规定了多种表示浮点数值的方式，下面介绍32位二进制的float浮点类型。它被分为3个部分，分别是符号位S（sign bit）、指数偏差E（exponent bias）和小数部分F（fraction），这三部分都是对应二进制码的。

 

　　浮点表示的一般形式为（科学技术法规则）：R=(S) * (1 + F) * 2^e (R：实数       S：正负符号      F：小数部分     e：指数，不同于指数偏差)。

• 符号位S：占1位，0代表浮点数是正数，1代表浮点数是负数。
• 指数偏差E：占8位，范围是0~255，e = E - 127，e为正值表明转换成二进制码后，按科学计数法表达时向左移动了e位， 负值表明向右移动了e位。
• 小数部分F：占23位，实际上是将浮点数转换成二进制码，再按科学计数法表达，将其小数部分存在F上，由于二进制码按科学计数法表达后，只要值不为0，整数部分就必然为1，所以可以省略整数部分。

　　例如，3.75的二进制码为11.11，将该二进制码按科学计数法表达为1.111，则向左移动了1位，即e=1，E=e+127=128，F记录的便是小数部分，实际为111000...000。

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　　下面介绍一下小数部分转换为二进制码的方式。类似于整数的形式（如7 = 2² + 2¹ + 2⁰），小数部分的转换形式为2^-1、2^-2、2^-3、2^-4......，例如0.5 = 2^-1，即二进制码为0.1，0.05 = 2^-5 + 2^-6 + 2^-9 + 2^-10 + 2^-13 + 2^-14 +...... （可无限循环），即二进制码为0.00001100110011......。如果都以16位计，那么7的二进制码为0000000000000111，0.5的二进制码为0.1000000000000000，0.05的二进制码为0.0000110011001100。这是如何换算出来的呢？且看下面的算法便知：

　　换算0.5，乘法结果初始为0.5，所有乘数为2，每次用乘法结果 * 乘数，得到新的乘法结果，结果中的整数部分被提取出来，剩余的小数部分继续参加下一次乘法运算，直到剩余小数部分为0，或者无终点（无限循环）。根据表格中的整数部分可知，二进制为0.1。

整数部分	乘数	乘法结果	剩余小数部分
0.	2	0.5	0.5
1		1	0
		结束

　　换算0.05，乘法结果初始为0.05，所有乘数为2，每次用乘法结果 * 乘数，得到新的乘法结果，结果中的整数部分被提取出来，剩余的小数部分继续参加下一次乘法运算，直到剩余小数部分为0，或者无终点（无限循环）。根据表格中的整数部分可知，二进制为0.00001100110011......。

整数部分	乘数	乘法结果	剩余小数部分
0.	2	0.05	0.05
0	2	0.1	0.1
0	2	0.2	0.2
0	2	0.4	0.4
0	2	0.8	0.8
1	2	1.6	0.6
1	2	1.2	0.2
0	2	0.4	0.4
0	2	0.8	0.8
1	2	1.6	0.6
1		1.2	0.2
		无限循环

例1：float型浮点数125.5转化成32位二进制浮点数。

　　125.5的整数和小数部分的二进制码分别为1111101和0.1，于是125.5的二进制码为1111101.1，按科学技术法写为1.1111011*2⁶，即向左移6位，则e=6，E=e+127=133，133的二进制码为10000101。而1.1111011把整数部分的1去掉后，剩下小数部分为1111011，之后补0至23位，构成F。所以125.5的32位二进制浮点数为：
0  10000101  11110110000000000000000

例2：float型浮点数0.5转化成32位二进制浮点数。

　　类似的，0.5的二进制码为0.1，按科学技术法写为1.0*2^-1，即向右移1位，则e=-1，则E=e+127=126，126的二进制码为01111110。而1.0把整数部分的1去掉后，剩下小数部分为0，之后补0至23位，构成F。所以0.5的32位二进制浮点数为：
0  01111110  00000000000000000000000

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几个特殊的情形

• E=0，F=0时，表示浮点数0，此时浮点数受S影响，表现出+0和-0两种0，但数值是相等的。比如二进制数0x00000000表示+0，二进制数0x80000000表示-0。
• E=0，F不等于0时，浮点数为(S) * (F) * 2^e，注意e为-126，而不是0-127=-127，而且F是0.xxx格式而不是1.xxx格式，比如0x00000001的浮点数为2^-126*2^-23=1.4012984643248170709237295832899e^-45，而不是2^0-127*(1+2^-23)。E从0变为1，不会产生增加2倍的关系，而是计算公式改变了（恢复正常公式）。
• E=255，F不等于0时，表示非数值，也就是说是非法数，例如0x7F800001。
• E=255，F=0时，表示无穷大的数，此时浮点数受S影响，例如0x7F800000表示正无穷大，0xFF800000表示负无穷大。做除法时，如果除以0时，结果将被记作0x7F800000。

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浮点数的精度

　　从前文中可以看到，1.xxx这类浮点数中，F部分最小的是2^-23，对应的十进制数为1.00000011920928955078125，可以精确表示到小数点后23位，但是一些C语言书上却说float型的有效位只有6~7位，这是为什么呢？原因在于二进制小数与十进制小数没有完全一一对应的关系，二进制小数相比十进制小数来说，是离散而不是连续的，我们来看看下面这些数字：

二进制小数　　　　十进制小数
2^-23　　　　　　　1.00000011920928955078125
2^-22　　　　　　　1.0000002384185791015625
2^-21　　　　　　　1.000000476837158203125
2^-20　　　　　　　1.00000095367431640625
2^-19　　　　　　　1.0000019073486328125
2^-18　　　　　　　1.000003814697265625

　　这里只需要关注F，上面列出了1.xxx这类浮点数中的6个最小的二进制小数，及其对应的十进制数。可以看到使用二进制所能表示的最小小数是1.00000011920928955078125，其次是1.0000002384185791015625，这两个数之间是有间隔的，如果想用二进制小数来表示8位有效数（只算小数部分，小数点前面的1是隐藏的默认值）1.00000002、1.00000003、1.00000004......这些数是无法办到的，而7位有效数1.0000001可以用2^-23来表示，1.0000002可以用2^-22来表示，1.0000003可以用2^-23+2^-22来表示。从这个角度来看，float型所能精确表示的位数只有7位，7位之后的数虽然也是精确表示的，但却无法表示任意一个想表示的数值。

　　但还是有一些例外的，比如说7位有效数1.0000006这个数就无法用F表示，这也表明二进制小数对于十进制小数来说相当于是离散的，刚好凑不出1.0000006这个数，从这点来看float型所能精确表示的位数只有6位。因此float型的有效位数是6~7位，但这个说法应该不是非常准确，准确来说应该是6位，C语言的头文件中规定也是6位。对于一个很大的数，例如1234567890，它是由于指数E系数而被放大了的，但它的有效位仍然是F所能表示的6~7位有效数字。1234567890用float表示后为1234567936，只有高7位是有效位，后3位是无效的。int型可以准确的表示1234567890，而float浮点数则只能近似的表示1234567890，精度问题决定了float型无法取代int型。