poj1781In Danger（约瑟夫） 问题

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之前队内赛中的一道题目 当时怎么想也没想到，就一直放到了今天，刚才看另一题的讲解突然看到时拿这个题作为引子来讲的，就仔细看了下。

参考《《具体数学》》 p7。 Josephus问题

开始是讲了一个古老的故事，说J和同伴陷入险境，大家不愿做俘虏，就想了个游戏来进行自杀，每第二个人就要去死。。J觉得这样很傻，并很快的算出了自己该在的位置，逃脱了这无聊的自杀。由此引出了这个有趣的算法。

这本书上讲的很清楚， 我就大体概括一下。

可以先从10个人来看 很明显第一次死掉的是全部的偶数， 然后是 是3 7 1 9.那么J（10） = 5；

可以猜测所有的J（n)都为奇数，因为第一轮就杀掉了全部的偶数，很明显。。

然后再猜J（n) = n/2? 很明显 不是。不过假如有2N个人 第一次还是杀掉所有的偶数 那么剩下了n个数，那么这n个数不就是跟之前的n同样来处理。。，

只不过编号变成了原来的2*i -1. 所以J(20) = 2*j(10)-1 = 9; 类推 J（40） = 17 所以得出j（5*2^m） = 2^(m+1)+1;

那么奇数呢，类似可知 J（2n+1) = 2*J(n)+1；

所以归纳可得

j(1) = 1;

j(2n) = 2j(n)-1;

j(2n+1） = 2j(n)+1;

这样是很快的，每次以减少2倍或多的速度来算，不过这可关乎J的性命，所以J还得想更快的方法才能确保他逃得过此劫。

那么继续看 1  2 3  4 5 6 7  8 9 10 11 12 13 14 15  16

　　　　　1   1 3  1 3 5 7  1 3 5 7 9 11  13 15 17   1

下面对的是J（n)的值 ，结论应该可以猜出来了，与2的幂有关。

结论：对于每一个n可以写成n=2^m+k的形式 。那么J（2^m+k) = 2k+1;

上式是由 上上的递归式推出来的，书上用的归纳法，数学不好就不再证了。

 1 #include <iostream>

 2 #include<cstdio>

 3 #include<cstring>

 4 #include<algorithm>

 5 #include<stdlib.h>

 6 #include<vector>

 7 #include<cmath>

 8 #include<queue>

 9 #include<set>

10 using namespace std;

11 #define N 100000

12 #define LL long long

13 #define INF 0xfffffff

14 const double eps = 1e-8;

15 const double pi = acos(-1.0);

16 const double inf = ~0u>>2;

17 int main()

18 {

19     int n,m;

20     char c;

21     while(cin>>n>>c>>m)

22     {

23         if(!n&&!m) break;

24         n = n*pow(10.0,m);

25         int k = log(n*1.0)/log(2.0);

26         int s = pow(2.0,k);

27         cout<<(n-s)*2+1<<endl;

28     }

29     return 0;

30 }

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