UESTC 880 生日礼物 --单调队列优化DP

定义dp[i][j]表示第i天手中有j股股票时，获得的最多钱数。

转移方程有：

1.当天不买也不卖: dp[i][j]=dp[i-1][j];

2.当天买了j-k股: dp[i][j]=max(dp[r][k]+(j-k)*Ap[i]); (r<i-w)

3.当天卖了k-j股: dp[i][j]=max(dp[r][k]+(k-j)*Bp[i]); (r<i-w)

直接转移复杂度太高，为O(n^2*Maxp^2).

分别考虑每种转移，第一种不用管，考虑第二种。

dp[i][j]=max(dp[r][k]+(j-k)*Ap[i])

变换得：dp[i][j]-j*Ap[i]=dp[r][k]-k*Ap[i]。

所以变成使dp[r][k]-k*Ap[i]最大。

对于dp[r][k]-k*Ap[i]， 因为我们已经有dp[i][k]=dp[i-1][k]的转移了，说明，dp[i][k]包含了所有dp[j][k] （j<i）的情况。 换句话说dp[i][k]是递增的。那么这里我们显然就可以直接把r换成i-w-1，于是变成了求 dp[i-w-1][k]-k*Ap[i]的最大值。

令f[k]=dp[i-w-1][k]-k*Ap[i]) 原式变为 dp[i][j]=max(f[k])+j*Ap[i] （0=<k<j），如果再把与i相关的东西变成常数，则变成类似dp[j] = max(f[k])+c[j]形式，即变成可用单调队列优化的形式。

维护一个单调递增队列来求f[k]。复杂度O(n*Maxp).

因为直接令r=i-w-1,因为r>=1,所以i>w+1时才能转移，这是i<=w+1的情况需要预处理。

代码：

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <algorithm>

#define Mod 1000000007

using namespace std;

#define N 2007



struct node

{

    int num,val;

}que[N];



int AP[N],BP[N],AS[N],BS[N];

int dp[N][N];

int n,Maxp,w;



void init()

{

    int i,j;

    for(i=0;i<=2000;i++)

        for(j=0;j<=Maxp;j++)

            dp[i][j] = -Mod;

    dp[0][0] = 0;

    for(i=1;i<=w+1;i++)

        for(j=0;j<=min(AS[i],Maxp);j++)

            dp[i][j] = -j*AP[i];

}



int main()

{

    int i,j,k;

    int t,head,tail;

    scanf("%d",&t);

    while(t--)

    {

        scanf("%d%d%d",&n,&Maxp,&w);

        for(i=1;i<=n;i++)

            scanf("%d%d%d%d",&AP[i],&BP[i],&AS[i],&BS[i]);

        init();

        for(i=1;i<=n;i++)

        {

            //unbuy & unsell

            for(j=0;j<=Maxp;j++)

                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j]);

            if(i-w-1 <= 0)

                continue;

            //buy j-k stocks

            head = 1;

            tail = 0;

            for(j=0;j<=Maxp;j++)

            {

                int tmp = dp[i-w-1][j] + j*AP[i];

                while(tail >= head && j-que[head].num > AS[i])

                    head++;

                if(head <= tail)

                    dp[i][j] = max(dp[i][j],que[head].val-(j-que[head].num)*AP[i]);

                while(tail >= head && que[tail].val+que[tail].num*AP[i] < tmp)

                    tail--;

                que[++tail].num = j;

                que[tail].val = dp[i-w-1][j];

            }

            //sell k-j stocks

            head = 1;

            tail = 0;

            for(j=Maxp;j>=0;j--)

            {

                int tmp = dp[i-w-1][j] + j*BP[i];

                while(tail >= head && que[head].num-j > BS[i])

                    head++;

                if(head <= tail)

                    dp[i][j] = max(dp[i][j],que[head].val-(j-que[head].num)*BP[i]);

                while(tail >= head && que[tail].val+que[tail].num*BP[i] < tmp)

                    tail--;

                que[++tail].num = j;

                que[tail].val = dp[i-w-1][j];

            }

        }

        int res = 0;

        for(i=0;i<=Maxp;i++)

            res = max(res,dp[n][i]);

        printf("%d\n",res);

    }

    return 0;

}

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