Topcoder SRM 358:BalanceScale

现在有n件物品集合V，每件有一个重量Wi，现在要从里面选出一个集合S,使得V-S中的物品都能由S中的物品称出来，即在一个天平的的左边放入V-S中的1件物品，那么必定可以从S中选出一些物品(可以无限使用）放在右边，使得天平平衡。

现在要求集合S中元素个数的最小值。

现在，我们先求出Wi(i=1,2,3...n)的最大公倍数g,然后把每个Wi都除以g,这样gcd(Wi)=1,这样并不会影响最后的结果。现在证明如果V中的一个子集S的最大公倍数为1,那么V中的元素都可以有S中的元素称出来。
证明用的是 Bézout's identity定理。

那么现在的问题转换成从集合V中选出最小的集合S，使得集合S的公倍数于集合V的公倍数相同（同为1)。

设DP[x]为以x为最大公倍数的最小集合的个数，通过DP求解（其实就是BFS搜索),那么最后的结果就是DP[1]

int  d[ 10000100 ];
 
class  BalanceScale
{
   public :
   int  takeWeights(vector  < int >  w) 
  {
     int  n  =  w.size();
     int  g  =  w[ 0 ];  for (  int  i  =   1 ; i  <  n; i ++  ) g  =  gcd( g, w[i] );
     for (  int  i  =   0 ; i  <  n; i ++  ) w[i]  /=  g;
    sort( w.begin(), w.end() );
     if ( w[ 0 ]  ==   1  )  return   1 ;
    
    queue <   int   >  q;
    memset( d,  1 , sizeof( d ) );
     for (  int  i  =   0 ; i  <  n; i ++  ) { q.push( w[i] ); d[w[i]]  =   1 ; }
     while (  ! q.empty()  &&  d[ 1 ]  ==   0x01010101  )
    {
       int  u  =  q.front(); q.pop();
       for (  int  i  =   0 ; i  <  n; i ++  )
      {
         int  v  =  gcd( u, w[i] );
         if ( d[v]  ==   0x01010101  ) { d[v]  =  d[u]  +   1 ; q.push( v ); }
      }
    }
     return  d[ 1 ];
  }
};

下面是DFS的代码:

import  java.util. * ;
 
public   class  BalanceScale {
     int  gcd( int  x,  int  y) {
         while  (y  !=   0 ) {
             int  t  =  x  %  y; x  =  y; y  =  t;
        }
         return  x;
    }
 
     int [] w;
     int  answer;
 
     void  bt( int  i,  int  d,  int  c) {
         if  (c  >=  answer) {
             return ;
        }
         if  (i  ==  w.length) {
             if  (d  ==   1 ) {
                answer  =  c;
            }
             return ;
        }
         int  d1  =  gcd(d, w[i]);
         if  (d1  !=  d) {
            bt(i  +   1 , d1, c  +   1 );
        }
        bt(i  +   1 , d, c);
    }
 
     public   int  takeWeights( int [] weight) {
         int  d  =   0 ;
         for  ( int  x : weight) {
            d  =  gcd(d, x);
        }
         for  ( int  i  =   0 ; i  <  weight.length; i ++ ) {
            weight[i]  /=  d;
        }
 
        w  =  weight;
 
        answer  =  weight.length;
        bt( 0 ,  0 ,  0 );
         return  answer;
    }
 
 
}