2011-10-10 20:14 HDU 4021 (15数码)

题意：给出一个board，上面有24个位置，其中23个位置上放置了标有数字1~23的方块，一个为空位（用数字0表示），现在可以把空位与它旁边的方块交换，给出board的起始状态，问是否可以达到指定的状态。

思路：看起来很像著名的“八数码”问题，首先，针对八个特殊位置（死角），如果这里有空位就把它和相邻的位置交换，这样之后如果两个状态的对应死角上的数字不同，那么显然是不能达到指定状态的，因为无法把死角处的数字换出去。

搞定了死角后就只剩下4×4的board了，这就变成了八数码问题的拓展——15数码。首先想想八数码是如何判断有解的：首先把所有数字（不包括空位的0）写成一行，就得到了一个1~8的排列，考虑空位的交换情况：1.左右交换，2.上下交换。对于左右交换而言，是不会改变写出的排列的逆序数的；而对上下交换，相当于在排列中向前或向后跳了两个位置，那么要么两个数都比它大或小，这样逆序数加2或减2，要么两个数一个比它大一个比它小，这样逆序数不变，综上，对于八数码问题，操作不会改变逆序数的奇偶性，所以只有初始状态和指定状态的逆序数奇偶性相同就有解。

弄清楚了八数码，扩展起来就容易了，现在我们将其扩展到N维（即N*N的board，N*N-1数码问题）。

首先无论N的奇偶，左右交换不改变逆序数，N为奇数时：上下交换逆序数增加N-1或减少N-1或不变，因为N为奇数，所以逆序数奇偶性不变；而N为偶数时：上下交换一次奇偶性改变一次。

结论：N为奇数时，初始状态与指定状态逆序数奇偶性相同即有解；N为偶数时，先计算出从初始状态到指定状态，空位要移动的行数m，如果初始状态的逆序数加上m与指定状态的逆序数奇偶性相同，则有解。

好了，现在这道题就简单了，计算逆序数和空格要移动的行数即可。

View Code

  1 #include <stdio.h>

  2 

  3 #include <string.h>

  4 

  5 #include <algorithm>

  6 

  7 #define abs(x) ((x)>0?(x):-(x))

  8 

  9  

 10 

 11 using namespace std;

 12 

 13  

 14 

 15 const int pos[]={0,1,2,7,16,21,22,23};

 16 

 17 int f[24];

 18 

 19  

 20 

 21 int a[24],b[24],c[16],d[16];

 22 

 23  

 24 

 25 void init(void)

 26 

 27 {

 28 

 29     f[0]=f[2]=3;

 30 

 31     f[1]=f[7]=6;

 32 

 33     f[16]=f[22]=17;

 34 

 35     f[21]=f[23]=20;

 36 

 37 }

 38 

 39 int main(void)

 40 

 41 {

 42 

 43     init();

 44 

 45     int t;

 46 

 47     scanf("%d",&t);

 48 

 49     while(t--)

 50 

 51     {

 52 

 53         for(int i=0;i<24;i++)    scanf("%d",a+i);

 54 

 55         for(int i=0;i<24;i++)    scanf("%d",b+i);

 56 

 57         for(int i=0;i<8;i++)

 58 

 59         {

 60 

 61             if(a[pos[i]]==0)    swap(a[pos[i]],a[f[pos[i]]]);

 62 

 63             if(b[pos[i]]==0)    swap(b[pos[i]],b[f[pos[i]]]);

 64 

 65         }

 66 

 67         bool flag=0;

 68 

 69         for(int i=0;i<8;i++)

 70 

 71         {

 72 

 73             if(a[pos[i]]!=b[pos[i]])

 74 

 75             {

 76 

 77                 flag=1;

 78 

 79                 break;

 80 

 81             }

 82 

 83         }

 84 

 85         if(flag)

 86 

 87         {

 88 

 89             puts("Y");

 90 

 91             continue;

 92 

 93         }

 94 

 95         int num1=0,num2=0;

 96 

 97         for(int i=0,j;i<24;i++)

 98 

 99         {

100 

101             bool f1=0;

102 

103             for(j=0;j<8;j++) if(i==pos[j])   f1=1;

104 

105             if(f1)  continue;

106 

107             c[num1++]=a[i];

108 

109             d[num2++]=b[i];

110 

111         }

112 

113         int pos1=-1,pos2=-1;

114 

115         int cnt1=0,cnt2=0;

116 

117         for(int i=1;i<16;i++)

118 

119         {

120 

121             if(c[i]==0) pos1=i;

122 

123             else

124 

125             {

126 

127                 for(int j=0;j<i;j++)

128 

129                     if(c[i]<c[j])

130 

131                         cnt1++;

132 

133             }

134 

135         }

136 

137         for(int i=1;i<16;i++)

138 

139         {

140 

141             if(d[i]==0) pos2=i;

142 

143             else

144 

145             {

146 

147                 for(int j=0;j<i;j++)

148 

149                     if(d[i]<d[j])

150 

151                         cnt2++;

152 

153             }

154 

155         }

156 

157         int diff=abs(pos1/4-pos2/4);

158 

159         if(abs(diff+cnt1-cnt2)%2==0)    puts("N");

160 

161         else    puts("Y");

162 

163     }

164 

165     return 0;

166 

167 }