欧拉通路 欧拉回路的区别 及其判定

在做一些图类时经常要用到欧拉路,比如近期的单词连接和涂彩棒等,下面整理了一点:

欧拉通路: 通过图中每条边且只通过一次,并且经过每一顶点的通路。

欧拉回路: 通过图中每条边且只通过一次,并且经过每一顶点的回路。

 

无向图是否具有欧拉通路或回路的判定:

欧拉通路:图连通;图中只有0个或2个度为奇数的节点

欧拉回路:图连通;图中所有节点度均为偶数

 

有向图是否具有欧拉通路或回路的判定:

欧拉通路:图连通;除2个端点外其余节点入度=出度;1个端点入度比出度大1;一个端点入度比出度小1 或 所有节点入度等于出度

欧拉回路:图连通;所有节点入度等于出度

 

混合图欧拉回路:
  原来混合图欧拉回路用的是网络流。
  把该图的无向边随便定向,计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数,那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 
= 出度,也就是总度数为偶数,存在奇数度点必不能有欧拉回路。
  好了,现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2,得x。也就是说,对于每一个点,只要将x条边改变方向(入
>出就是变入,出>入就是变出),就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入,那么很明显,该图就存在欧拉回路。
  现在的问题就变成了:我该改变哪些边,可以让每个点出 
= 入?构造网络流模型。首先,有向边是不能改变方向的,要之无用,删。一开始不是把无向边定向了吗?定的是什么向,就把网络构建成什么样,边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u,连接边(u, t)、容量为x,对于出 > 入的点v,连接边(s, v),容量为x(注意对不同的点x不同)。之后,察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路,没有就是没有。欧拉回路是哪个?察看流值分配,将所有流量非0(上限是1,流值不是0就是1)的边反向,就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
  由于是满流,所以每个入 
> 出的点,都有x条边进来,将这些进来的边反向,OK,入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么,没和s、t连接的点怎么办?和s连接的条件是出 > 入,和t连接的条件是入 > 出,那么这个既没和s也没和t连接的点,自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中,这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的,这样,进去多少就出来多少,反向之后,自然仍保持平衡。
  所以,就这样,混合图欧拉回路问题解决了。

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