线性代数之特征值与特征向量
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1. 一个例子：随机矩阵与其稳态向量q满足Aq=q，此时 特征值λ=1，特征向量即稳态向量q。
2. 由Ax=λx，可以推出(A-λI)x=0。由于特征向量不能为0，该方程必须有非平凡解，因此A-λI不可逆；
所以det(A-λI)=0。据此可解出所有λ，再跟据λ可解出特征向量。det(A-λI)=0称为特征方程。
3. 根据齐次线性方程组的特点，一个特征值对应的特征向量有无限多个，且对应于λ的所有特征向量加上零向量可以构成向量空间，称为矩阵A对应于特征值λ的特征空间。
4. n阶矩阵的特征方程是λ的n阶方程，如果将特征向量限制在R中，那么特征方程未必有解，即不是所有的矩阵都有R域中的特征值；但每一个矩阵一定存在n个复数域中的特征值（k重根按k个特征值计）。
5. 设λ1,...λr是n阶矩阵的r个相异特征值，v1,...vr是对应的r个特征向量，那么向量集{v1,...vr}线性无关。
6. 若存在可逆矩阵P使得两个n阶矩阵A，B满足A=PBP-1，则称A，B相似。
7. 若n阶矩阵A，B相似，那么这两者有相同的特征多项式，从而有相同的特征值（包括相同的代数重数）。
8. 特征向量的应用举例
假设我们现在要分析xk+1=Axk，x0已知。如果我们能将x0分解为A的特征向量的线性组合，比如x0=c1v1+c2v2，v1，v2为A的特征向量，
那么上述递归方程就能有一个简单的解法解出xk：
x1=Ax0
=A(c1v1+c2v2)
=c1Av1+c2Av2
=c1λv1+c2λv2
x2=Ax1
=A(c1λv1+c2λv2)
=c1λAv1+c2λAv2
=c1λ2v1+c2λ2v2
...
xk=c1λkv1+c2λkv2
9. n阶矩阵可对角化的条件是A有n个线性无关的特征向量。
若A=PDP-1，D为对角阵，那么P的列向量是A的n个线性无关的特征向量，D的主对角线元素是A的对应于P中特征向量的特征值。
换言之，A可对角化的充分必要条件是有足够多的特征向量形成Rn的基。这样的基称为特征向量基。
10. 某特征值对应的特征空间的维数小于或等于该特征值的代数重数。
11. 矩阵A可对角化的充分必要条件是所有不同特征空间的维数和为n，即每个特征值对应特征空间的维数等于该特征值的代数重数。
12. 若A可对角化，那么所有特征空间的基的向量的集合是Rn的特征向量基。
13. 若V是n维向量空间，W是m维向量空间，T是V到W的线性变换，B和C分别是V和W的基，那么T相对于基B和C的矩阵为：
M=[ [T(b1)]c ... [T(bn)]c ]
用M来表示V到W的变换：
[T(x)]c = M[x]B
若W=V，C=B，上式即简化为：
[T(x)]B = [T]B[x]B
此时M=[T]B，称为T相对于B的矩阵，或简称为T的B-矩阵。
14. 设A=PDP-1，D为n阶对角矩阵，若Rn的基由P的列向量组成，那么D是变换x|->Ax的B-矩阵。
实际上，上述表述中，D不一定要是对角矩阵。
设y=Ax，且A可表示成PDP-1，那么：
y=Ax
=> y=PDP-1x
=> P-1y=P-1PDP-1x
=> P-1y=DP-1x
=> (P-1y)=D(P-1x)
P-1y和P-1x可分别看作y和x在Rn的基P下的坐标。
对于差分方程xk+1=Axk，上式就成为：
P-1xk+1=D(P-1xk)
用w表示x在P下的坐标，就是：
wK+1=Dwk
矩阵A对角化后的最大优点是解耦了向量x的各分量。
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