POJ1010: 体现搜索艺术的“水”题

问题简述

给出不同类型的一组邮票，类型面值可能相同。求符合总面值，且最多取4张邮票的最佳方案。最佳方案满足以下要求：

1. 类型数最多。
2. 如果类型数相同，则张数少者。
3. 如果张数也相同，则单张面值最大者。
4. 如果以上都相同，则无最佳方案（平局）。

问题分析

搞了整整3天，绞尽脑汁也没想出个好方案。看了一下关于该题的discussion,许多人说这是个水题，直接暴搜就可以过。可是怎么都想不明白如何暴搜。 最后在网上看到一个利用动态规划法写的一个状态转移方程，顿时豁然开朗，想出了这个方案。关键在于如何递归计算最大类型数，以及判断最优解。

一. 计算最大类型数
用MT[k][n][v] (k>=0, 0<=n<=4, v>=0) 表示从前k个类型中，最多取n张，总面值为v的所有组合中最大的类型数。则有递推方程：

     MT[k][n][v] = MAX{ MT[k-1][n-i][v-i*Values[k-1]] + (i>0?1:0) }  (0<=i<=n, v>=i*Values[k-1])
二. 判断最优解，平局，及无解情况  
<1>每次进行递归之前，先记录当前类型取用的个数 
<2>每次递归到v=0时，即得到一个解，与之前的最优解比较，决定是否更新或平局。 
<3>每次递归到n=0或v=0时, 如果v>0, 则此次递归无解。

基本代码也很简洁：

void searchBestComb(int k, int n, int v)

{

   if(v>0 && n>0 && k>0)

	for(int i=0; i<=n && v>=i*typeValue[k-1]; ++i)

	{

	     typeTimes[k-1] = i;   //use i stamps of this type

	     searchBestComb(k-1, n-i, v-i*typeValue[k-1]);

	}

    else if(v==0) 		

	    updateBestComb(k);   //find an answer

}

提交后一次AC。看了一下ACM的解题报告，终于知道如何暴搜了，虽然效率不高，但也可以过。代码如下：

For(i=1;i<=total_stamps;i++)

   For(j=i;j<=total_stamps;j++)

      For(k=j;k<=total_stamps;k++)

         For(l=k;l<=total_stamps;l++)

           {

              UpdateBestComb();

           }

关键还是我没利用好最多只有4张邮票这个条件，终于知道为什么那么多人说这是个水题了。在被此题困扰的时候我忘了一个基本原则：人类有寻求最简的天性。

反思：

      ACM的题确实有趣，但确实很有挑战。一道题对于经过专业训练的人来说也许是小菜一碟，但对我们这些没受过训练，算法水品一般般，仅凭兴趣研究的人来说可能是一场头脑风暴。苦思冥想几天可能还想不出一个解决方案，即使好不容易憋出一个方案，也可能由于太繁琐而无法实现，或者勉强实现了也错误百出。ACMer不仅仅在基本算法运用方面灵活自如，比如贪心，回溯，动态规划等等，更重要的是，他们更善于用数学符号清晰地表达他们解题思路，比如用一个递推方程，方程写出来后，代码逻辑就清晰多了。我们普通算法爱好者的差距就在这里。这几天有点过分投入了，脑力消耗很大，现在需要心平气和，认清自己的现实情况。也许需要去啃一部《算法导论》之类的名著来打牢基础。无论如何，我会坚持下去。