B 树、B+ 树、B* 树

内容源自:

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6530142

 

动态查找树主要有：二叉查找树、平衡二叉查找树、红黑树、B树/B树的变形。前三者是典型的二叉查找树结构，其查找的时间复杂度O(logn)与树的深度相关，降低树的深度自然会提高查找效率

在大规模数据存储方面，大量数据存储在外存磁盘中，而在外存磁盘中读取/写入块(block)中某数据时，首先需要定位到磁盘中的某块，如何有效地查找磁盘中的数据，需要一种合理高效的外存数据结构,这就用到了B-tree结构，以及相关变种结构:B+树结构和B*树结构

1. B-树 又叫平衡多路查找树
B树是为了磁盘或者其它存储设备而设计的一种多叉平衡查找树，与红黑树相似，但在降低磁盘I/O操作方面要更好一些。许多数据库系统都一般使用B树或者B树的各种变形结构来存储信息

B树与红黑树最大的不同在于，B树的结点可以有许多子女，从几个到几千个。然而和红黑树一样，一颗含有n个结点的B树的高度也为O(logn)，但可能比红黑树的高度小许多，因为它的分支因子比较大。B树可以再O(logn)时间内，实现各种如插入、删除等动态集合操作。

一颗m阶的B树是一颗平衡的m路搜索树，定义如下：

1. 每个非根节点所包含的关键字的个数 j 满足： ┌m/2┐ -1 <= j<=m-1, 所以每个非根节点拥有的子女个数至少为m/2，最多为m
2. 若根节点不是叶子节点那么最少有两个孩子
3. 一个非叶子节点如果包含k-1个关键字，那么就拥有k个孩子节点
4. 所有的叶子节点都在同一层

注意：叶子节点是不存在的节点，每个内部节点中都存储关键字以及指向这些关键字对应数据的指针

因为叶子结点不包含关键字，所以可以把叶子结点看成在树里实际上并不存在外部结点，指向这些外部结点的指针为空，叶子结点的数目正好等于树中所包含的关键字总个数加1

B树的类型和节点定义

#define m 1024

struct BTNode{

        int keyNum; //实际关键字个数

        PBTNode parent;

        PBTNode *ptr;    //子树指针向量：ptr[0] ... ptr[keyNum]

        KeyType * key;   //关键字向量: key[0] … key[keyNum-1]

};

 

typedef struct BTNode * BTree;

 

B-树中的一个包含n个关键字，n+1个指针的结点的一般形式为： （n,P0,K1,P1,K2,P2,…,Kn,Pn）

 

文件查找的具体过程(涉及磁盘IO操作)

为了简单，这里用少量数据构造一棵3叉树的形式，实际应用中的B树结点中关键字很多的。上面的图中比如根结点，其中17表示一个磁盘文件的文件名；小红方块表示这个17文件内容在硬盘中的存储位置；p1表示指向17左子树的指针。

 

其结构可以简单定义为：

typedef struct {

         /*文件数*/

         int file_num;

         /*文件名(key)*/

char * file_name[max_file_num];

/*指向子节点的指针*/

BTNode * BTptr[max_file_num+1];

/*文件在硬盘中的存储位置*/

FILE_HARD_ADDR offset[max_file_num];

}BTNode;

假如每个盘块可以正好存放一个B树的结点（正好存放2个文件名）。那么一个BTNODE结点就代表一个盘块，而子树指针就是存放另外一个盘块的地址。

下面，咱们来模拟下查找文件29的过程：

1. 根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1，将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 1次】

2. 此时内存中有两个文件名17、35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：17<29<35，因此我们找到指针p2。

3. 根据p2指针，我们定位到磁盘块3，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 2次】

4. 此时内存中有两个文件名26，30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：26<29<30，因此我们找到指针p2。

5. 根据p2指针，我们定位到磁盘块8，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 3次】

6. 此时内存中有两个文件名28，29。根据算法我们查找到文件名29，并定位了该文件内存的磁盘地址。

 

分析上面的过程，发现需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。关于内存中的文件名查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。至于IO操作是影响整个B树查找效率的决定因素。

 

B树的高度：

注意：这里计算高度是从0，开始的，实际上它是一颗高度为4的B树

 

百度百科上对B树的性能分析：

设B-树包含N个关键字，因此有N+1个叶子结点，叶子都在第I层。因为根至少有两个孩子，因此第二层至少有两个结点。除根和叶子外，其它结点至少有┌m/2┐个孩子，因此在第三层至少有2*┌m/2┐个结点，在第四层至少有2*(┌m/2┐^2)个结点，．．．，在第I层至少有2*(┌m/2┐^(l-2) )个结点，于是有：

　　N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-2

　　考虑第L层的结点个数为N+1，那么2*(┌m/2┐^(l-2)）≤N+1，也就是L层的最少结点数刚好达到N+1个

　　即： I≤ log┌m/2┐((N+1)/2 )+2

　　所以，当B-树包含N个关键关键字时，B-树的最大高度为l-1（因为计算B-树高度时，叶结点所在层不计算在内）

　　即：log┌m/2┐((N+1)/2 )+1

　　这个公式保证了B-树的查找效率是相当高的

 

B⁺-tree：是应文件系统所需而产生的一种B-tree的变形树。

一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于：

1. 一个有n-1个关键字的节点有n颗子树

2. 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)

3. 所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

 

a) 为什么说B+-tree比B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？

1. B⁺-tree的磁盘读写代价更低

B⁺-tree的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。

2.  B⁺-tree的查询效率更加稳定

由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

 

数据库索引采用B+树的主要原因是 B树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。正是为了解决这个问题，B+树应运而生。B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）。

 

b) B⁺-tree的应用: VSAM(虚拟存储存取法)文件

 

B^*-tree

B*-tree是B⁺-tree的变体，在B⁺树的基础上(所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针)，B*树中非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）。给出了一个简单实例，如下图所示：

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。

所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；