字符串匹配那些事（一）

本系列文章主要介绍几种常用的字符串比较算法，包括但不限于蛮力匹配算法，KMP算法，BM算法，Horspool算法，Sunday算法，fastsearch算法，KR算法等等。
本文主要介绍KMP算法和BM算法，它们分别是前缀匹配和后缀匹配的经典算法。所谓前缀匹配是指：模式串和母串的比较从左到右，模式串的移动也是从左到右；所谓后缀匹配是指：模式串和母串的的比较从右到左，模式串的移动从左到右。看得出来前缀匹配和后缀匹配的区别就仅仅在于比较的顺序不同。下文分别从最简单的前缀蛮力匹配算法和后缀蛮力匹配算法入手，详细的介绍KMP算法和BM算法以及它们的实现。

KMP算法

首先来看一下前缀蛮力匹配算法的代码（以下代码从linux源码string.h中抠出），模式串和母串的比较是从左到右进行（strncmp()），如果找不到和模式串相同的子串，则从左到右移动模式串，距离为1（s++）。

char * strstr(register const char *s, register const char *wanted)
{
    register const size_t len = strlen(wanted);
    if (len == 0) return (char *)s;
    while (*s != *wanted || strncmp(s, wanted, len))
        if (*s++ == '\0')
            return (char *)NULL;
    return (char *)s;
}

KMP算法中的KMP分别是指三个人名：Knuth、Morris、Pratt，其本质也是前缀匹配算法，对比前缀蛮力匹配算法，区别在于它会动态调整每次模式串的移动距离，而不仅仅是加一，从而加快匹配过程。下图通过一个直观的例子展示前缀蛮力匹配算法和KMP算法的区别，前文提过，这二者唯一的不同在于模式串移动距离。

上图中，前缀蛮力匹配算法发现匹配不上，就向右移动距离1，而KMP算法根据已经比较过的前缀信息，了解到应该移动距离为2；换句话说针对母串的下一个匹配字符，KMP算法了解它下回应该匹配模式串的哪个位置，比如上图中，针对母串的第i+1个字符，KMP算法了解它应该匹配模式串的第k+1个字符。为什么会是这样，这是因为母串的子串T[i-k, i]=aba，而模式串的子串P[0,k]=aba，这二者正好相等。所以模式串应该移动到这个位置，从而让母串的第i+1个字符和模式串的第k+1个字符继续比较。

那k值又是如何寻找？请注意上图中，模式串位置j已经匹配上母串的位置i，也就是T[i-k, i] = P[j-k, j]=aba；根据前文的T[i-k, i] = P[0, k] = aba， 从而得出P[0, k] = P[j-k, j] = aba。通过观察发现，就是在模式的子串[0, j]中寻找一个最长前缀[0,k]，从而使得[j-k, j] = [0,k]；
于是可以定义一个jump数组，jump[j]=k，表示满足P[0, k] ==P[j-k, j] 的最大k值，或者表述为：如果模式串j+1匹配不上母串的i+1,那跳转到模式串k+1继续比较。有了这个jump数组，就很容易写出kmp算法的伪代码：

j:=0;
for i:=1 to n do
Begin
   while (j>0) and (P[j+1]<>T[i]) do j:=jump[j];[
   if P[j+1]=T[i] then j:=j+1;
   if j=m then
   Begin
       writeln('Pattern occurs with shift ',i-m);
   end;
end;

KMP算法中jump数组的构建可以通过归纳法来解决，首先确定jump[1]=0；假设jump[j]=k，也就是P[0, k] == P[j-k, k]，如果P[j+1] == P[k+1]，那么得出[0,k+1] = P[j-k, j+1]，从而更加定义得出jump[j+1] = k+1；
如果P[j+1] != P[k+1]，那就接着比较P[j+1] ?= P[k1+1]，其中（jump[k] = k1），根据（jump[k]=k1）的定义，P[0,k1] == P[k-k1, k]，根据（jump[j]=k）的定义，P[0, k] == P[j-k, k]，根据这两个等式，推出P[0, k1] == P[j-k1, j]，如果此时P[j+1] == P[k1+1]，则得出：jump[j+1] = K1 +1 = jump[k] +1。
如果P[j+1] != P[K1+1]，继续递归比较P[j+1] 和P[jump[jump[k]]+1]  ….  P[1]；
如果依次比较都不相等，那么jump[j+1] = 0；写成伪代码如下，可以看出其实就是模式串自我匹配的过程。

jump[1]:=0;
j:=0;
for i:=2 to m do
begin
    while (j>0) and (P[j+1]<>P[i]) do j:=jump[j];
    if P[j+1]=P[i] then  j:=j+1;
    jump[i]:=j;
end;

考虑模式串匹配不上母串的最坏情况，前缀蛮力匹配算法的时间复杂度最差是O(n×m)，最好是O(n),其中n为母串的长度，m为模式串的长度。KMP算法最差的时间复杂度是O(n)；最好的时间复杂度是O(n/m)。

BM算法

后缀匹配，是指模式串的比较从右到左，模式串的移动也是从左到右的匹配过程，经典的BM算法其实是对后缀蛮力匹配算法的改进。所以还是先从最简单的后缀蛮力匹配算法开始。下面直接给出伪代码，注意这一行代码：j++；BM算法所做的唯一的事情就是改进了这行代码，即模式串不是每次移动一步，而是根据已经匹配的后缀信息，从而移动更多的距离。

j = 0；
while (j <= strlen(T) - strlen(P)) {
   for (i = strlen(P) - 1; i >= 0 && P[i] ==T[i + j]; --i)
   if (i < 0)
      match；
   else
      ++j；
}

为了实现更快移动模式串，BM算法定义了两个规则，好后缀规则和坏字符规则，如下图可以清晰的看出他们的含义。利用好后缀和坏字符可以大大加快模式串的移动距离，不是简单的++j，而是j+=max (shift(好后缀), shift(坏字符))

先来看如何根据坏字符来移动模式串，shift(坏字符)分为两种情况：

• 坏字符没出现在模式串中，这时可以把模式串移动到坏字符的下一个字符，继续比较，如下图：

• 坏字符出现在模式串中，这时可以把模式串第一个出现的坏字符和母串的坏字符对齐，当然，这样可能造成模式串倒退移动，如下图：

为了用代码来描述上述的两种情况，设计一个数组bmBc['k']，表示坏字符‘k’在模式串中出现的位置距离模式串末尾的最大长度，那么当遇到坏字符的时候，模式串可以移动距离为： shift(坏字符) = bmBc[T[i]]-（m-1-i)。如下图：

数组bmBc的创建非常简单，直接贴出代码如下：

void preBmBc(char *x, int m, int bmBc[]) {
    int i;
    for (i = 0; i < ASIZE; ++i)
         bmBc[i] = m;
    for (i = 0; i < m - 1; ++i)
         bmBc[x[i]] = m - i - 1;
}

再来看如何根据好后缀规则移动模式串，shift（好后缀）分为三种情况：

• 模式串中有子串匹配上好后缀，此时移动模式串，让该子串和好后缀对齐即可，如果超过一个子串匹配上好后缀，则选择最靠左边的子串对齐。



• 模式串中没有子串匹配上后后缀，此时需要寻找模式串的一个最长前缀，并让该前缀等于好后缀的后缀，寻找到该前缀后，让该前缀和好后缀对齐即可。



• 模式串中没有子串匹配上后后缀，并且在模式串中找不到最长前缀，让该前缀等于好后缀的后缀。此时，直接移动模式到好后缀的下一个字符。

为了实现好后缀规则，需要定义一个数组suffix[]，其中suffix[i] = s 表示以i为边界，与模式串后缀匹配的最大长度，如下图所示，用公式可以描述：满足P[i-s, i] == P[m-s, m]的最大长度s。

构建suffix数组的代码如下：

suffix[m-1]=m;
for (i=m-2；i>=0；--i){
    q=i;
    while(q>=0&&P[q]==P[m-1-i+q])
        --q;
    suffix[i]=i-q;
}

有了suffix数组，就可以定义bmGs[]数组，bmGs[i] 表示遇到好后缀时，模式串应该移动的距离，其中i表示好后缀前面一个字符的位置（也就是坏字符的位置），构建bmGs数组分为三种情况，分别对应上述的移动模式串的三种情况

• 模式串中有子串匹配上好后缀



• 模式串中没有子串匹配上好后缀，但找到一个最大前缀



• 模式串中没有子串匹配上好后缀，但找不到一个最大前缀

构建bmGs数组的代码如下：

void preBmGs(char *x, int m, int bmGs[]) {
   int i, j, suff[XSIZE];
   suffixes(x, m, suff);
   for (i = 0; i < m; ++i)
      bmGs[i] = m;
   j = 0;
   for (i = m - 1; i >= 0; --i)
      if (suff[i] == i + 1)
         for (; j < m - 1 - i; ++j)
            if (bmGs[j] == m)
               bmGs[j] = m - 1 - i;
   for (i = 0; i <= m - 2; ++i)
      bmGs[m - 1 - suff[i]] = m - 1 - i;
}

再来重写一遍BM算法：

j = 0；
while (j <= strlen(T) - strlen(P)) {
   for (i = strlen(P) - 1; i >= 0 && P[i] ==T[i + j]; --i)
   if (i < 0)
      match；
   else
      j += max(bmGs[i], bmBc[T[i]]-（m-1-i))；
}

考虑模式串匹配不上母串的最坏情况，后缀蛮力匹配算法的时间复杂度最差是O(n×m)，最好是O(n),其中n为母串的长度，m为模式串的长度。BM算法时间复杂度最好是O(n/(m+1))，最差是多少？留给读者思考。