【计算理论】泵引理以及应用（证明某些语言不是正则的）

1、基础知识

1.1、一个典型的有穷自动机状态图

状态：q1；q2；q3
起始状态q1用一个指向它的无出发点的箭头表示；
接受状态q2带有双圈
转移：从一个状态指向另一个状态的箭头

本例中q1为起始状态，q2为接受状态。如果一个字符串w经过M1可以到达接受状态那称为M1接受s（比如字符串1，01，001，0011等等会被M1接受）。若A是机器M1接受的全部字符串集，则称A是机器M1的语言，记L(M1)=A；

以q1为例，q1状态遇到0自反，遇到1则进入q2状态；

1.2、正则运算

如果一个语言被一台有穷自动机识别，则称它是正则语言。算术运算中基本对象是数，正则运算的基本对象是语言。定义语言的运算包括并、连接、星号三种（类似算术运算中加减乘数角色）。
像M1这样的下个状态确定的自动机属于确定型有穷自动机（DFA），另一种是不确定的有穷状态自动机(non-deterministic finite automaton ,NFA)。

两者区别如下：

当机器处于给定的状态，并读入下一个输入符号时，可以知道机器的下一个状态是什么则它是确定的，称为确定型计算，而若在任何一点，下一个状态可能存在若干选择，称为非确定型计算。

2、泵引理

｛直接看定义、概念确实枯燥，但看过例子之后回头再看定义就会有“意会”的感觉｝

证明非正则性的技术。该定理指出所有的正则语言都有一种特殊的性质。语言中的所有字符串只要它的长度不小于某个特定的值－泵长度，就可以被“抽取”。（每一个这样的字符串都包含一段子串，把这段子串重复任意次，得到的字符串仍在这个语言中）

2.1、定义

设A为一个正则语言，则存在仅依赖于A的正整数p（泵长度），对于s∈A，如果|s|≥p
，则s可以被分为3段，存在s=xyz，满足下述条件
（1）对于任意的整数i≥0，xyiz∈A；
（2）|y|>0；
（3） |xy|≤p；

泵长度可理解为等价DFA的状态个数。

Si在qi的间隙中，所以若S长度为n，那么状态集的长度为n+1；

在这样的划分下，条件1和2是满足的。

注意y是两个q9之间的部分，所以|xy|<=p也是满足的。

2.2、证明某些语言不是正则语言（regular language）

｛语言B符合泵引理，是B是正则语言的必要而不充分条件，所以一般都用证明某些语言不是正则的｝

运用泵引理证明B不是正则语言的基本步骤：

首先，假设B是正则的，以便推出矛盾；

其次，在B中寻找一个字符串s，其长度大于p；

最后，证明s不能被抽取；

对3)来讲，比如B中的一个字符串s为000111，分割s为x、y、z的过程，以y=01为例，xyz为000111，xyyz则为00010111，后者不是B的成员，矛盾。

至此，泵引理应该很容易被理解了吧

3、参考资料

[1] 计算理论导引 第二版，Michael Sipser

[2] 维基百科｛http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%B5%E5%BC%95%E7%90%86

http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma

http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages｝