回溯法/深度优先遍历的简单优化技巧

深度优先遍历配合回溯，是解决很多问题的好方法，比如八皇后问题。

皇后的排布规则：n个皇后放在n*n的矩阵里，要求一列只有一个，一行只有一个，任一斜线上只有一个（/和\）。

通常，我们会把皇后作为一个数组，行号作为数组的下标，而列号是数组元素的值，由此，二维平面的排布问题就成了一维数组的求解，配合检验函数以及回溯，就可以求解了。

这里，我使用一个状态表（一个好的状态表可以比检验函数要有效率的多）来维护某个行可能的填入皇后的列号，每次放下皇后或者拿起皇后，都会对状态表进行更新。按行号的顺序依次安置皇后，安放完最后一个皇后，就得到了问题的一个解。

但是这会带来一个问题，那就是求解的难度会随着皇后的数量增加，耗时会剧增，差不多是O(n^3)的程度。

所以，我们要找一个可以更快解决问题的方法。

注意，八皇后问题的一个隐含的条件是：我们可以在任意位置安放皇后，没有次序的要求。但是当我们抽象到二维数组的时候，往往会忽略这一点。现在，考虑到这个情况，我们有如下解决方案：

当我们放下一个皇后之后，可以从剩余的所有行中，选择一个候选列号最少的，进行下一步的安置。

这样做的好处时，可以大大减弱搜索树的规模，这种减弱越靠近根部，就越明显。

因此，我们可以加入一个交换的函数。当然，这样一来，我们的状态表里就应该加上关于行号和列号的记录了。

最终代码如下：

num=8

class Queen(object):
	def __init__(self,n):
		self.lct= n
		self.prs=-1
		self.cdt=[1 for i in range(num)]

def Count(q):
	s=0
	for i in range(num):
		if q.cdt[i]>0:s+=1
	return s

def FindIt(q):
	u=q.prs+1;
	while u<num and q.cdt[u]<=0:u+=1
	if u<num:
		q.prs=u
		return True
	return False

def Settle(q,n):
	x=q[n].lct
	y=q[n].prs
	for i in range(n+1,num,1):
		p=q[i].cdt
		p[y]-=1
		a=q[i].lct-x
		b=y-a
		if b>=0 and b<num:p[b]-=1
		b=y+a
		if b>=0 and b<num:p[b]-=1

def Pickup(q,n):
	x=q[n].lct
	y=q[n].prs
	for i in range(n+1,num,1):
		p=q[i].cdt
		p[y]+=1
		a=q[i].lct-x
		b=y-a
		if b>=0 and b<num:p[b]+=1
		b=y+a
		if b>=0 and b<num:p[b]+=1

def Select(q,n):
	j,k=0,num+1
	for i in range(n,num):
		t=Count(q[i])
		if k>t:j,k=i,t
	if j!=n:q[n],q[j]=q[j],q[n]

def ShowIt(q):
	for i in range(num):
		for j in range(num):
			if q[j].lct==i:
				for k in range(num):
					if q[j].prs==k:
						print '*',
					else:
						print '-',
				print ''
	print ''

def Locate1():
	q=[Queen(i) for i in range(num)]
	i=0
	j=0
	while 1:
		if q[i].prs<0:
			Select(q,i)
		else:
			Pickup(q,i)
		if FindIt(q[i]):
			if i<num-1:
				Settle(q,i)
				i+=1
			else:
				j+=1
				yield j
				#ShowIt(q)
		else:
			q[i].prs=-1
			i-=1
			if i<0:break

def Locate2():
	q=[Queen(i) for i in range(num)]
	i=0
	j=0
	while 1:
		if q[i].prs>=0:Pickup(q,i)
		if FindIt(q[i]):
			if i<num-1:
				Settle(q,i)
				i+=1
			else:
				j+=1
				yield j
				#ShowIt(q)
		else:
			q[i].prs=-1
			i-=1
			if i<0:break
	
if __name__=='__main__':
	q=[Queen(i) for i in range(num)]
	import time
	
	t=time.time()
	Locate1().next()
	print 'once cost %.6f'%(time.time()-t)
	
	print '-----------------'
	
	t=time.time()
	Locate2().next()
	print 'once cost %.6f'%(time.time()-t)

算法很简单，也没有注释。我是用一个列表同时保存了皇后的行号、列号和状态表。当皇后放下后，状态表表示她放下时的所有可能位置（也就是放下后就不更新了），未放下的皇后的状态表会不断更新。一个指针，该指针左边都是放下的，右边都是未放下的，指针所指的皇后元素，是要进行挪动的那个。

那么，结果呢？如下：

(08)     92 ,   0.027 <=>   0.024 , ----- <=> ------
(09)    352 ,   0.113 <=>   0.096 , ----- <=> ------
(10)    724 ,   0.467 <=>   0.432 , ----- <=> ------
(11)   2680 ,   1.919 <=>   1.956 , ----- <=> ------
(12)  14200 ,   9.786 <=>  10.647 , ----- <=> ------
(13)  73712 ,  52.080 <=>  59.131 , ----- <=> ------
(14) 365596 , 326.946 <=> 462.586 , ----- <=> ------
(15) ------ , ------- <=> ------- , ----- <=> ------
(16) ------ , ------- <=> ------- , 0.002 <=>  0.175
(17) ------ , ------- <=> ------- , 0.002 <=>  0.103
(18) ------ , ------- <=> ------- , 0.003 <=>  0.770
(19) ------ , ------- <=> ------- , 0.002 <=>  0.053
(20) ------ , ------- <=> ------- , 0.005 <=>  4.075
(21) ------ , ------- <=> ------- , 0.004 <=>  0.195
(22) ------ , ------- <=> ------- , 0.002 <=> 36.618
(23) ------ , ------- <=> ------- , 0.003 <=>  0.563
(24) ------ , ------- <=> ------- , 0.003 <=>  9.280
(25) ------ , ------- <=> ------- , 0.013 <=>  1.157
(26) ------ , ------- <=> ------- , 0.022 <=>  9.391
(27) ------ , ------- <=> ------- , 0.008 <=> 11.390
(28) ------ , ------- <=> ------- , 0.003 <=> 74.833
(29) ------ , ------- <=> ------- , 0.029 <=> 42.061
(30) ------ , ------- <=> ------- , 0.018 <=> ------
(40) ------ , ------- <=> ------- , 0.158 <=> ------
(50) ------ , ------- <=> ------- , 0.040 <=> ------
(60) ------ , ------- <=> ------- , 0.032 <=> ------
(70) ------ , ------- <=> ------- , 0.077 <=> ------
(80) ------ , ------- <=> ------- , 0.054 <=> ------
(90) ------ , ------- <=> ------- , 2.162 <=> ------

上表的最左边是皇后的个数；第一栏是解的数量；随后的一对数据依次是优化和非优化版本的求全部解的耗时；最后一对数据依次是优化和非优化版本的求第一个解的耗时。

可见这种优化的效果还是很好的。（虽然小数量是反而慢一些，但这是必然的，算法越精巧，也就要做越多的处理操作，自然会在处理小规模数据时不利）

这种改进，对于没有次序要求的深度搜索/回溯求解非常有效，比如，数独。

本质上，这种方法和A*算法有些异曲同工，一个是旨在“剪枝”，一个则使用经验函数“抄近路”，而它们的使用上，其实都是一样的：对所有可能的下一步进行排序之后，选择效果最好/几率最高的进行。