吴昊品游戏核心算法 Round 18 —— Zen Puzzle Garden关卡的NP完全性证明（吴昊 译）

  

  好了，在Glow Puzzle完结之后，再来说说前面的游戏——Zen Puzzle Garden，这里提到一个人，就是Sevenkplus，顾昱洲，人称顾神，上周的时候我很碰巧地加入了POJ的组委会，并很碰巧地遇到了真人版的顾昱 洲童鞋，并很碰巧地加了他，一些都是那么偶然（有图片可以证明的哦！）。所谓Sevenkplus，意思就是7k+，7K+的意思是代码长度 (length)为7KB以上,也就是大约350行左右。在ACM中一般的代码行数都是低于150行的，所以偶尔一个7K+是一个很恐怖的事情。

  那段Zen Puzzle Garden的逻辑代码比较复杂，目前我还在请教老师，希望可以全面搞懂，在研究这款游戏的AI的时候，我不经意地发现了一篇论文，是在道客巴巴上面找的。这篇论文是英文的，目前还没有人翻译过来，所以，我只好自己翻译咯。

 

  

原文证明了该游戏的关卡是NP完全的，我把原文所在的英文网址附加在这里，以供读者作为对照来参考：http://www.doc88.com/p-608927729422.html

    Zen Puzzle Garden是NP-完全的

  Robin Houston,Joseph White,Martyn Amos
  (吴昊 译)
  关键词：计算复杂度，NP-完全，谜题（我想到尼亚了）

  1.介绍

  Zen Puzzle Garden（ZPG）是发生在一个二维的方形隔点上的一个单机的解谜游戏，被叫做花园（Garden）。方块可以是沙子，石头或者空地（可以行走的区 域）。这款游戏的任务是移动一个僧人，围绕着这个广场移动，来覆盖所有的方块。僧人可以自由地在空地上面移动。在沙地上的时候，僧人只能沿着冯诺依曼邻域 中移动（例如：对角的移动是不允许的）。在沙子上走动的时候，这个僧人继续朝着其笔直的方向移动，直到他碰到了一个可以行走的方块（他会移动到那个上 面），一个覆盖着沙子的方块或者一个石头（在这两种情况下，他停止移动）。这个僧人在沙子上面移动的时候不会停下来。一个花园的例子被描述为图1的形式， 同时给出了一个样本解。

 

 

  

如图1：ZPG样本花园，附带一份解答。沙子是白色的，可以行走的区域是蓝色的，石子是黑色的。

  虽然这个问题已经被实验地（基于一种类似于蒙特卡洛的方法）研究过，到目前止，还没有存在过关于其时间复杂性的正式的证明。我们现在宣称，决定ZPG的解的复杂性是NP完全的。   

  定理1：决定一个Zen Puzzle Garden实例的解是NP完全的
  接下来，我们为接下来的一个NP完全问题构造出一个证明，给出一个立方平面图，它包含一二汉密尔顿回路嘛？我们构造一个对应于任意一个立方平面图的ZPG花园，我们所构建的任何一个花园将会存在一个解决方案，当且仅当对应的图表中有一个汉密尔顿回路。

 

 

  

图2：左边的那幅图是直线的形式，右边的那幅是具备拐角的

 

    2.证明

  为了建立一个反映了一个立方平面图G的ZPG花园，我们首先在一个格子中画出这张图。这往往以这样一种方式完成——格子的面积是图的尺寸的二次方。我们按 照如下的方式将格子转换成ZPG花园。每一个格子的方块被转换成了一个7*7的砖瓦，是由石头，沙子，或者是可以行走的区域组成的。格子中的每一个方块是 由一条直边，一个拐角，或者一个三个事件边交汇的一个节点组成的。前面两种砖瓦被描述为图2的形式，这可以根据需要进行旋转操作。

 

 

  

图3中，左边为结点的砖瓦，右边为一个样本路径

  结点砖瓦以这样一种方式被构建，无论是哪个沙地首先被覆盖，我们总是可以覆盖掉剩下的沙地，并从剩下的几个方向的任意一个出来（如图3）。

 

 

  

（图4：立方平面图）

  在图4中，我们展示了一个立方平面图，同时给出了它的ZPG展示。起始结点被涂成红色，其中，汉密尔顿回路被加粗地显示了出来。

 

 

  

（图4：ZPG展示）

  在ZPG的展示中，起始结点可以看成是由两片瓦合成的，占据了位置（3,6）和（3,5）。最顶层的砖瓦被完全地描述为可行走的方块，这是僧人被初始放置 的位置，下面的砖瓦是一个简单的“出入口”砖瓦，被描述在图4的第三幅图中。这片砖瓦是一个被模拟的节点砖瓦，其中，两个最上层的石头已经被转换成沙子。 第一个被覆盖的沙地只能是这两个的其中之一，最后一个被经过的沙地也必定是另外一个。这样有利于出去，也有利于退回到起始的节点。任何一个解决方案必须通 过所有的其他节点有且仅有一次，所以，任何的对ZPG问题的解决方案都必然存在一个图中的汉密尔顿回路。
  

  

 （图4：出入口砖瓦）

   我们从[3]中得知一个具有n个结点的立方平面图可以被一个网格的面积O（n^2）所实现，这个网格的实现可以被计算为时间复杂度O(nlogn)，所以 从立方平面图到ZPG花园的地图（游戏界面）是多项式类型的。给出一个解答，它可以被轻易地在多项式时间中找到，因为一个解决方案将不会大于这个花园的解 决（就是上面所述的那种），这就完全地证明了ZPG的关卡是NP-完全的。