霍夫曼树(Huffman tree)
1.基本概念
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霍夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。
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树的带权路径长度：设一棵二叉树有 n 个叶子结点，每个叶子结点拥有一个权值Ｗ 1 ，Ｗ 2 ， ...... Ｗ n ，从根结点到每个叶子结点的路径长度分别为 L1 ， L2......Ln ，那么树的带权路径长度为从树根到每一结点的路径长度之和，记为WPL=(W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)。可以证明霍夫曼树的WPL是最小的。
2.构造霍夫曼树的方法
对于已知的一组叶子的权值Ｗ 1 ，Ｗ 2...... ，Ｗ n
①首先把 n 个叶子结点看做 n 棵树（仅有一个结点的二叉树），把它们看做一个森林。
②在森林中把权值最小和次小的两棵树合并成一棵树，该树根结点的权值是两棵子树权值之和。这时森林中还有 n-1 棵树。
③重复第②步直到森林中只有一棵为止。此树就是哈夫曼树。
n个叶子结点的哈夫曼树共有2n-1个结点。
3.霍夫曼编码
霍夫曼编码(Huffman Coding)是一种编码方式，是一种用于无损数据压缩的熵编码（权编码）算法。1952年，David A. Huffman在麻省理工攻读博士时所发明的，并发表于《一种构建极小多余编码的方法》（A Method for the Construction of Minimum-Redundancy Codes）一文。
在通信及数据传输中多采用二进制编码。为了使电文尽可能的缩短，可以对电文中每个字符出现的次数进行统计。设法让出现次数多的字符的二进制码短些，而让那些很少出现的字符的二进制码长一些。假设有一段电文，其中A，B，C，D出现的频率为0.4, 0.3, 0.2, 0.1。则得到的哈夫曼树和二进制前缀编码如图所示。在树中令所有左分支取编码为 0 ，令所有右分支取编码为1。将从根结点起到某个叶子结点路径上的各左、右分支的编码顺序排列，就得这个叶子结点所代表的字符的二进制编码。
这些编码拼成的电文不会混淆，因为每个字符的编码均不是其他编码的前缀，这种编码称做前缀编码。
4.霍夫曼编码实现
下面是java实现的霍弗曼编码，包括霍夫曼树的构造，编码和解码。
package com.iteye.cake513.code;
import java.util.*;
/**
* @ClassName: Huffman
* @Description: TODO(Huffman编码)
* @author liujie
* @date 2011-10-4 下午09:49:29
*
*/
class HuffmanNode implements Comparable<HuffmanNode> {
private char letter;
private int count;//字符letter出现的频率，即权重
private HuffmanNode left;
private HuffmanNode right;
public HuffmanNode(char letter, int count) {
this.letter = letter;
this.left = null;
this.right = null;
this.count = count;
}
public HuffmanNode(HuffmanNode left, HuffmanNode right) {
this.letter = '?';
this.left = left;
this.right = right;
this.count = left.count + right.count;
}
//为了进行排序
public int compareTo(HuffmanNode o) {
return count - o.count;
}
public boolean isLeaf() {
return(this.left == null && this.right == null);
}
public HuffmanNode getLeft() {
return left;
}
public HuffmanNode getRight() {
return right;
}
public char getLetter() {
return letter;
}
}
public class Huffman {
private HuffmanNode root;
private HashMap<Character, String> map;//用于存放字符到编码的映射
@SuppressWarnings("unchecked")
public Huffman() {
char[] letters = "bekprs_&".toCharArray();
int[] counts = {2,7,1,1,1,2,2,1};
map = new HashMap<Character, String>();
root = generateTree(letters, counts);
generateCodes(root, "");
for (int i = 0; i < letters.length; i++) {
System.out.print(letters[i] + "(" + counts[i] +") ");
}
System.out.println("生成二进制编码如下：");
Iterator itr = map.entrySet().iterator();
while (itr.hasNext()) {
Map.Entry entry = (Map.Entry)itr.next();
System.out.print(entry.getKey() + ":" + entry.getValue() +" ");
}
System.out.println();
}
//构造霍夫曼树
private HuffmanNode generateTree(char[] letters, int[] counts) {
List<HuffmanNode> list = new LinkedList<HuffmanNode>();
for(int i = 0; i < letters.length; i++) {
list.add(new HuffmanNode(letters[i], counts[i]));
}
while (true) {
Collections.sort(list);
HuffmanNode a = list.remove(0);
if (list.isEmpty()) {
return a;
}
HuffmanNode b = list.remove(0);
list.add(new HuffmanNode(a, b));
}
}
//生成编码，存放在HashMap中，key对应letter，value对应letter的二进制编码
private void generateCodes(HuffmanNode root, String code) {
if (root.isLeaf()) {
map.put(root.getLetter(), code);
} else {
generateCodes(root.getLeft(), code + "0");
generateCodes(root.getRight(), code + "1");
}
}
//对给定电文进行编码，messag中的字符必须属于生成编码用到的字符集合letters
private String encode(String message) {
StringBuilder result = new StringBuilder();
for (char c : message.toCharArray()) {
result.append(map.get(c) + " ");
}
return result.toString();
}
//对编码进行解码
public String decode(String encodeMessage) {
StringBuilder result = new StringBuilder();
HuffmanNode node = root;
for (char c : encodeMessage.toCharArray()) {
if (c == '0') {
node = node.getLeft();
} else if (c == '1') {
node = node.getRight();
}
if (node.isLeaf()) {
result.append(node.getLetter());
node = root;
}
}
return result.toString();
}
public static void main(String[] args) {
Huffman hfm = new Huffman();
String encode = hfm.encode("beekeepers_&_bees");
System.out.println("对beekeepers_&_bees编码：" + encode);
String decode = hfm.decode(encode);
System.out.println("对上面进行解码：" + decode);
}
}