A*寻路，二叉堆及AS3实现
游戏时代群雄并起，寻路乃中原逐鹿第一步，重要性不言而喻。今习得寻路战术之首A*算法，为大家操演一番，不足之处还望不吝赐教。可以选择阅读下面的内容，或者先看看 寻路示例 、AS3类代码 及其 API文档。
牛刀小试 - A*寻路算法简介
eidiot挂帅出征，携令牌一枚，率人马若干，编制如下：
- 寻路元帅
寻路总指挥，执“行动令牌”一枚和“开启士兵名录”、“关闭将军名录”各一册。凭“行动令牌”调兵遣将。 - 预备士兵
由元帅或预备将军派往未探索区域，完成探索任务后授“开启”军衔，晋为“开启士兵”。发令派其出者为其“父将”。 - 开启士兵
前线待命。接到“行动令牌”后晋为“预备将军”执行探索任务。 - 预备将军
凭“行动令牌”派出预备士兵至周围未探索区域，并考察周围“开启士兵”状态，以“父将”之名节制所派士兵。归还“行动令牌”后授“关闭”军衔，晋为“关闭将军”。 - 关闭将军
后方待命。到达终点后依次报告“父将”直至元帅，寻路任务完成。
为协调行动，特颁军令如下：
- “预备士兵”只能由起点或“父将”所在格横、竖或斜向移动一格，直向（横、竖）移动一格走10步，斜向一格14步（斜向是直向1.414倍，取整数），抵达后不得再移动。
- 所有人员需记下派出自己的“父将”、从起点到所在位置所走步数（G）、预计到达终点共需步数（F）。
其中 F = G + H ，F 是从起点经过该点到终点的总路程，G 为起点到该点的“已走路程”，H 为该点到终点的“预计路程”。G 的计算是“父将”的 G 值加上“父将”位置到该位置所走步数，H 的计算是该点到终点“只走直路”所需路程。
看看战图更容易理解，从红色方格出发越过黄色障碍到达蓝色方格：
图例：
由图可形象看出何谓“开启士兵”、“关闭将军”：外围的绿色方格为“开启士兵”，“前线待命”，随时可向外继续探索。内围的紫色方格是“关闭将军”，从终点开始沿箭头寻其“父将”直至起点即得最终路径。
战前会议结束，拔营出征。
- 首先派出编号为0的“预备士兵”侦查起点，然后升其为“开启士兵”，列入“开启士兵名录”。
- 检查“开启士兵名录”，找出F值最低的“开启士兵”（只有一名人员，当然是0号），发出“行动令牌”派其执行探索任务。
- 0号“开启士兵”接到“行动令牌”，晋为“预备将军”，探索周围格子。
- 向周围8个格子分别派出编号为1到8的“预备士兵”，成为这八名“预备士兵”的“父将”。
- 八名“预备士兵”到达方格后计算G值和F值，报告0号“父将”，晋为“开启士兵”。
- 0号“预备将军”收到八名“开启士兵”的报告，归还“行动令牌”，晋为“关闭将军”。
- 元帅收回“行动令牌”，将0号加入“关闭将军名录”，1到8号加入“开启士兵名录”。
此过程结果如下（方格右上角数字是人员编号，左下角是G，右下角是H，左上角是F）：
第一轮探索任务完成，元帅开始检查“开启士兵名录”。此时名录中有8名人员，其中1号F值最低为40（起点右移一格，G值为10，到终点平移3格，H值为30，F = G + H = 40），向其发出“行动令牌”。
- 1号“开启士兵”接到“行动令牌”，晋为“预备将军”，探索周围格子。
- 周围8个格子中有3格障碍，跳过。一格是“关闭将军”，跳过。其余四格是“开启士兵”，检查如果从该位置过去G值是否更低。以2号为例，如果从1号过去G值为 10 + 14 = 24 （1号的G值加上1号到2号的步数）,而2号原来的G值是10，不做处理（如果此时发现新的G值更低，则更新2号的G值，并改2号的“父将”为1号）。其他类推。
- 1号检测完周围的方格，不需做任何处理，归还“行动令牌”，晋为“关闭将军”。
- 元帅收回“行动令牌”，将1号加入“关闭将军名录”。
此过程结果如下：
第二轮结束，元帅再次检查“开启士兵名录”。此时还有7名“开启士兵”，5号和8号的F值都为最低的54，选择不同寻路的结果也将不同。元帅选择了最后加入的8号“开启士兵”发出“行动令牌”，过程同上，不赘述，结果如下：
重复这个过程直到某位“关闭将军”站到了终点上（或者“开启士兵”探测到了终点，这样更快捷，但某些情况找到的路径不够短），亦即找到了路径；或是“开启士兵名录”已空，无法到达终点。
下面整理一下全过程并翻译成“标准语言”，首先是各名词：
- “开启士兵名录” - 开启列表 - open list
- “关闭将军名录” - 关闭列表 - closed list
- “父将” - 父节点 - parent square
- F - 路径评分
- G - 起点到该点移动损耗
- H - 该点到终点（启发式）预计移动损耗
寻路过程：
- 1, 将起点放入开启列表
- 2, 寻找开放列表中F值最低的节点作为当前节点
- 3, 将当前节节点切换到关闭列表
- 4, 如果当前节点是终点则路径被找到，寻路结束
- 5, 对于其周围8个节点:
- 如果不可通过或已在关闭列表，跳过，否则：
- 如果已在开放列表中，检查新路径是否更好。如果新G值更低则更新其G值并改当前节点为其父节点，否则跳过
- 如果是可通过区域则放入开启列表，计算这一点的F、G、H值，并记当前节点为其父节点
- 6, 如果开启列表空了，则无法到达目标，路径不存在。否则回到2
再翻译成“编程语言”？请看第三部分，锋芒毕露 - AS3代码和示例。
如虎添翼 - 使用二叉堆优化
如何让A*寻路更快？元帅三顾茅庐，请来南阳二叉堆先生帮忙优化寻找“开启士兵名录”中最低F值的过程，将寻路速度提高了2到3倍，而且越大的地图效果越明显。下面隆重介绍二叉堆先生：
下图是一个二叉堆的例子，形式上看，它从顶点开始，每个节点有两个子节点，每个子节点又各自有自己的两个子节点；数值上看，每个节点的两个子节点都比它大或和它相等。
在二叉堆里我们要求：
- 最小的元素在顶端
- 每个元素都比它的父节点大，或者和父节点相等。
只要满足这两个条件，其他的元素怎么排都行。如上面的例子，最小的元素10在最顶端，第二小的元素20在10的下面，但是第三小的元素24在20的下面，也就是第三层，更大的30反而在第二层。
这样一“堆”东西我们在程序中怎么用呢？幸运的是，二叉堆可以用一个简单的一维数组来存储，如下图所示。
假设一个元素的位置是n（第一个元素的位置为1，而不是通常数组的第一个索引0），那么它两个子节点分别是 n × 2 和 n × 2 + 1 ，父节点是n除以2取整。比如第3个元素（例中是20）的两个子节点位置是6和7，父节点位置是1。
对于二叉堆我们通常有三种操作：添加、删除和修改元素：
- 添加元素
首先把要添加的元素加到数组的末尾，然后和它的父节点（位置为当前位置除以2取整，比如第4个元素的父节点位置是2，第7个元素的父节点位置是3）比较，如果新元素比父节点元素小则交换这两个元素，然后再和新位置的父节点比较，直到它的父节点不再比它大，或者已经到达顶端，及第1的位置。 - 删除元素
删除元素的过程类似，只不过添加元素是“向上冒”，而删除元素是“向下沉”：删除位置1的元素，把最后一个元素移到最前面，然后和它的两个子节点比较，如果较小的子节点比它小就将它们交换，直到两个子节点都比它大。 - 修改元素
和添加元素完全一样的“向上冒”过程，只是要注意被修改的元素在二叉堆中的位置。
可以看出，使用二叉堆只需很少的几步就可以完成排序，很大程度上提高了寻路速度。
关于二叉堆先生需要了解的就是这么多了，下面来看看他怎么帮助元帅工作：
- 每次派出的“预备士兵”都会获得一个唯一的编号（ID），一直到寻路结束，它所有的数据包括位置、F值、G值、“父将”编号都将按这个ID存储。
- 每次有新的“开启士兵”加入，二叉堆先生将它的编号加入“开启士兵名录”并重新排序，使F值最低的ID始终排在最前面
- 当有“开启士兵”晋为“关闭将军”，删除“开启士兵名录”的第一个元素并重新排序
- 当某个“开启士兵”的F值被修改，更新其数据并重新排序
注意，“开启士兵名录”里存的只是人员的编号，数据全都另外存储。不太明白？没关系，元帅将在 第三部分 来次真刀实枪的大演兵。
锋芒毕露 - AS3代码和示例
地形数据不属于A*寻路的范围，这里定义一个 IMapTileModel 接口，由其它（模型）类来实现地图通路的判断。其它比如寻路超时的判断这里也不介绍，具体参考 AStar类及其测试代码。这里只介绍三部分主要内容：
数据存储
寻路过程
列表排序
数据存储
首先看看三个关键变量：
private var m_openList : Array; //开放列表，存放节点ID
private var m_openCount : int; //当前开放列表中节点数量
private var m_openId : int; //节点加入开放列表时分配的唯一ID(从0开始)
开放列表 m_openList 是个二叉堆（一维数组），F值最小的节点始终排在最前。为加快排序，开放列表中只存放节点ID ，其它数据放在各自的一维数组中：
private var m_xList : Array; //节点x坐标
private var m_yList : Array; //节点y坐标
private var m_pathScoreList : Array; //节点路径评分F值
private var m_movementCostList : Array; //(从起点移动到)节点的移动耗费G值
private var m_fatherList : Array; //节点的父节点(ID)
这些数据列表都以节点ID为索引顺序存储。看看代码如何工作：
//每次取出开放列表最前面的ID
currId = this.m_openList[0];
//读取当前节点坐标
currNoteX = this.m_xList[currId];
currNoteY = this.m_yList[currId];
还有一个很关键的变量：
private var m_noteMap : Array; //节点(数组)地图,根据节点坐标记录节点开启关闭状态和ID
使用 m_noteMap 可以方便的存取任何位置节点的开启关闭状态，并可取其ID进而存取其它数据。m_noteMap 是个三维数组，第一维y坐标（第几行），第二维x坐标（第几列），第三维节点状态和ID。判断点(p_x, p_y)是否在开启列表中：
return this.m_noteMap[p_y][p_x][NOTE_OPEN];
寻路过程
AStar类 寻路的方法是 find() :
/**
* 开始寻路
* @param p_startX 起点X坐标
* @param p_startY 起点Y坐标
* @param p_endX 终点X坐标
* @param p_endY 终点Y坐标
* @return 找到的路径(二维数组 : [p_startX, p_startY], ... , [p_endX, p_endY])
*/
public function find(p_startX : int, p_startY : int, p_endX : int, p_endY : int) : Array{/* 寻路 */}
注意这里返回数据的形式：从起点到终点的节点数组，其中每个节点为一维数组[x, y]的形式。为了加快速度，类里没有使用Object或是Point，节点坐标全部以数组形式存储。如节点note的x坐标为note[0],y坐标为note[1]。
下面开始寻路，第一步将起点添加到开启列表：
this.openNote(p_startX, p_startY, 0, 0, 0);
openNote() 方法将节点加入开放列表的同时分配一个唯一的ID、按此ID存储数据、对开启列表排序。接下来是寻路过程：
while (this.m_openCount > 0)
{
//每次取出开放列表最前面的ID
currId = this.m_openList[0];
//将编码为此ID的元素列入关闭列表
this.closeNote(currId);
//如果终点被放入关闭列表寻路结束，返回路径
if (currNoteX == p_endX && currNoteY == p_endY)
return this.getPath(p_startX, p_startY, currId);
//...每轮寻路过程
}
//开放列表已空，找不到路径
return null;
每轮的寻路：
//获取周围节点，排除不可通过和已在关闭列表中的
aroundNotes = this.getArounds(currNoteX, currNoteY);
//对于周围每个节点
for each (var note : Array in aroundNotes)
{
//计算F和G值
cost = this.m_movementCostList[currId] + ((note[0] == currNoteX || note[1] == currNoteY) ? COST_STRAIGHT : COST_DIAGONAL);
score = cost + (Math.abs(p_endX - note[0]) + Math.abs(p_endY - note[1])) * COST_STRAIGHT;
if (this.isOpen(note[0], note[1])) //如果节点已在开启列表中
{
//测试节点的ID
checkingId = this.m_noteMap[note[1]][note[0]][NOTE_ID];
//如果新的G值比节点原来的G值小,修改F,G值，换父节点
if(cost < this.m_movementCostList[checkingId])
{
this.m_movementCostList[checkingId] = cost;
this.m_pathScoreList[checkingId] = score;
this.m_fatherList[checkingId] = currId;
//对开启列表重新排序
this.aheadNote(this.getIndex(checkingId));
}
} else //如果节点不在开放列表中
{
//将节点放入开放列表
this.openNote(note[0], note[1], score, cost, currId);
}
}
从终点开始依次沿父节点回到到起点，返回找到的路径：
/**
* 获取路径
* @param p_startX 起始点X坐标
* @param p_startY 起始点Y坐标
* @param p_id 终点的ID
* @return 路径坐标数组
*/
private function getPath(p_startX : int, p_startY : int, p_id: int) : Array
{
var arr : Array = [];
var noteX : int = this.m_xList[p_id];
var noteY : int = this.m_yList[p_id];
while (noteX != p_startX || noteY != p_startY)
{
arr.unshift([noteX, noteY]);
p_id = this.m_fatherList[p_id];
noteX = this.m_xList[p_id];
noteY = this.m_yList[p_id];
}
arr.unshift([p_startX, p_startY]);
this.destroyLists();
return arr;
}
列表排序
这部分看代码和注释就可以了，不多说：
/** 将(新加入开放别表或修改了路径评分的)节点向前移动 */
private function aheadNote(p_index : int) : void
{
var father : int;
var change : int;
//如果节点不在列表最前
while(p_index > 1)
{
//父节点的位置
father = Math.floor(p_index ／ 2);
//如果该节点的F值小于父节点的F值则和父节点交换
if (this.getScore(p_index) < this.getScore(father))
{
change = this.m_openList[p_index - 1];
this.m_openList[p_index - 1] = this.m_openList[father - 1];
this.m_openList[father - 1] = change;
p_index = father;
} else
{
break;
}
}
}
/** 将(取出开启列表中路径评分最低的节点后从队尾移到最前的)节点向后移动 */
private function backNote() : void
{
//尾部的节点被移到最前面
var checkIndex : int = 1;
var tmp : int;
var change : int;
while(true)
{
tmp = checkIndex;
//如果有子节点
if (2 * tmp <= this.m_openCount)
{
//如果子节点的F值更小
if(this.getScore(checkIndex) > this.getScore(2 * tmp))
{
//记节点的新位置为子节点位置
checkIndex = 2 * tmp;
}
//如果有两个子节点
if (2 * tmp + 1 <= this.m_openCount)
{
//如果第二个子节点F值更小
if(this.getScore(checkIndex) > this.getScore(2 * tmp + 1))
{
//更新节点新位置为第二个子节点位置
checkIndex = 2 * tmp + 1;
}
}
}
//如果节点位置没有更新结束排序
if (tmp == checkIndex)
{
break;
}
//反之和新位置交换，继续和新位置的子节点比较F值
else
{
change = this.m_openList[tmp - 1];
this.m_openList[tmp - 1] = this.m_openList[checkIndex - 1];
this.m_openList[checkIndex - 1] = change;
}
}
}
其中 getScore() 方法：
/**
* 获取某节点的路径评分F值
* @param p_index 节点在开启列表中的索引(从1开始)
*/
private function getScore(p_index : int) : int
{
//开启列表索引从1开始，ID从0开始，数组索引从0开始
return this.m_pathScoreList[this.m_openList[p_index - 1]];
}