Catalan数（卡特兰数）

由于Catalan数经常会在算法题或面试题中出现，在这里做一下小小的总结。

介绍

Catalan数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。一般项公式为 

Cn的另一个表达形式为

一般来讲，我们编程时用递推关系会更方便计算：

或

即：C(n) = C(1)*C(n-1) + C(2)*C(n-2) + … + C(n-1)C(1).

它的前几项为: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796。可以先通过前几项判断问题是否属于卡特兰数。

典型应用

这里有一本书介绍了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。  http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/catadd.pdf (英文PDF)

1 括号化问题。矩阵链乘： P=A1×A2×A3×……×An，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？

2 一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
XXXYYY     XYXXYY    XYXYXY    XXYYXY    XXYXYY
3 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数（面试题参看算法篇第8题）：
((()))     ()(())      ()()()      (())()      (()())

4 将多边行划分为三角形问题。将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?

5 在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

6 出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1、2、3、…、n，有多少个不同的出栈序列?

7 有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

8 在n*n的格子中，只在下三角行走，每次横或竖走一格，有多少中走法？

9 一个有n个1和n个-1组成的字串，且前k个数的和均不小于0，那这种字串的总数为多少？

10 给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
(一定是二叉树！先取一个点作为顶点，然后左边依次可以取0至N-1个相对应的，右边是N-1到0个，两两配对相乘，就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + …… + h(n-1)h(0)=h(n))   （能构成h（N）个）

11 有n+1个叶子的满二叉树的个数？

12 用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数？

13 12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？

就如看到1 1 2 3 5...这样的数列我们就会想到斐波那契数列一样

在面试笔试中，看到1 1 2 5 14 42...我们也应该要想到卡特兰数

Reference：

1. http://www.acmerblog.com/catalan-5196.html

2. http://blog.sina.com.cn/s/blog_7064e7850100y1xf.html