图究竟是什么组成的？

重复一下 G =G1+G2的矛盾。具体情况参见我另一个帖子。

离散集合和图论的讨论

再看一下，图论导引关于图的描述，

”正式的说，图G是有有限非空集合V以及二元子集E构成。其中V的元素为顶点，E中元素称为边。。。。“

”一个图G由两部分构成，有限的非空顶点集合V，和由V的二元子集（称作边）构成的集合E。。。“

这个和另一个图论的资料中描述的基本一直，如下重复

图G由两个集合V和E组成，记为：
        G=(V，E)

　　V是顶点的有穷非空集合，　E是V中顶点偶对(称为边)的有穷集。

这里我有两个表示不认同的。

1、为什么是有限的。除非你说是有限图论。否则就不应该对图的定义本身进行有限定义。离散空间不代表有限。无限离散空间也不代表连续。如同自然数不是有限的，但是离散的。同时不是连续的。

有限对应无限，我认为，区别在于是否可枚举。有限的问题都是可枚举的，无限的例如自然数，只是无法枚举。因为没有穷尽。而对于无限的图，例如我们假设一个环，存在无限个顶点，每个顶点有且仅有两个边，很容易证明这个环最多3色可以着毕。这样的性质对无限图是有效的。

而我们特别在数据挖掘中，需要对一些局部数据，挖掘出整体数据的特性。这需要我们有一定的理论，通过有限的数据表征获取任意数据的特性。如果图论只讨论有限顶点，则会约束我们很多问题的处理。

而同时，图论书中所有定理也不用额外画蛇添足，增加”有限“这个字样，如果图论仅限在有限内讨论。

2、边是基于顶点出现的。图必须要存在非空顶点集合

这样，会引起我前面说的 G = G1+G2的描述问题。

由此，我修正图的符号化定义如下（哈，不怕被人喷，喷前，记得先提出我的错误的描述观点，这样我好修正定义）

G是由一个边元素的集合E构成。E的任意元素为顶点对（x,y)。且有(x,y) = (y,x)。而顶点集合是由E的派生。

any e in E ；e = (x,y) , x  in V y in V if x != y . x in V x == y （@红薯 ，  BLOG中怎么插入符号？？）

(x,y) = (y,x)；G = (E,V(E))

通俗语言描述为：

一个图G是由一个边集合E构成。E中所有元素均为端点对（x,y)。所有的E中元素的端点所构成的集合叫做V。

此处和传统定义最大的区别如下：

1、是谁决定谁。G是边集，边决定顶点。 此处没有约束 x一定不等于y，由此对于孤立点，我们看作一个孤立边，只不过两个端点相同。

2、没有有限无限的说法。

3、没有回避空集合。也即，允许一个图G，不包含任何元素。为空。

特别是3，不单单是为了兼容公理集合论。在很多图的计算中，确实存在空图。例如两个不连通的图的交操作。只要定义其操作是满足交换律的，那么必然会出现空集。否则交操作会和并操作一样。

当然，我们没有必要形而上学。仍然按照图论的标示，符号化认为，G = （E，V），只不过，此处是先有E后有V。而V=P（E），P是一个操作，取E的任意元素的端点作为元素。

最后，补充，上述集合都要满足一个约束，唯一性约束。即

any x,y ,x in A ,b in A,a != b。

就是说，任何属于A集合的两个元素均不相等（如果存在一个以上的元素）