偏最小二乘回归分析建模步骤的R实现(康复俱乐部20名成员测试数据)+补充pls回归系数矩阵的算法实现

kf=read.csv('d:/kf.csv') # 读取康复数据
kf
sl=as.matrix(kf[,1:3]) #生成生理指标矩阵
xl=as.matrix(kf[,4:6]) #生成训练指标矩阵
x=sl
x
y=xl
y
x0=scale(x)
x0
y0=scale(y)
y0
m=t(x0)%*%y0%*%t(y0)%*%x0
m
eigen(m)
w1=eigen(m)$vectors[,1]
v1=t(y0)%*%x0%*%w1/sqrt(as.matrix(eigen(m)$values)[1,])
v1
t1=x0%*%w1 #第一对潜变量得分向量
t1 # 以上为第一步(1)分别提取两变量组的第一对成分，并使之相关性达最大。
u1=y0%*%v1
u1 #第一对潜变量得分向量
library("pracma")
α1=inv(t(t1)%*%t1)%*%t(t1)%*%x0 #也可由t(x0)%*%t1/norm(t1,'2')^2算得α1 #α1在pls中称为模型效应负荷量
β1=inv(t(t1)%*%t1)%*%t(t1)%*%y0 #也可由t(y0)%*%t1/norm(t1,'2')^2算得β1
t(x0)%*%t1/norm(t1,'2')^2 # norm(t1,'2')为svd(t1)即t1的最大奇异值,也可用sqrt(t(t1)%*%t1)求得
t(y0)%*%t1/norm(t1,'2')^2 # 以上为第二步(2)建立y对T1的回归及x对T1的回归。
α1
β1
lm(x0~t1) #验证α1即为x0做应变量，t1做自变量的最小二回归的t1的回归系数(分别为weight、waist和pulse的回归系数，共3个)
lm(y0~t1) #验证β1即为y0做应变量，t1做自变量的最小二回归的t1的回归系数(分别为chins、situps和jumps的回归系数，共3个)
B=t(x0)%*%u1%*%inv(t(t1)%*%x0%*%t(x0)%*%u1)%*%t(t1)%*%y0 #保留第一对潜变量对应的标准化自变量x和标准化应变量y的pls回归系数矩阵(该矩阵公式参见‘KernelPartialLeastSquaresRegressionin Reproducing KernelHilbert Space’p102)

B
library("pls")
pls1=plsr(y0~x0,ncomp=1,validation='LOO',jackknife=T)
coef(pls1) #上式中B的求解等价于R的pls包中保留一个主成分的结果,系数为标准化回归系数，可以通过逆标准化过程还原为原始自变量x和应变量y的回归系数。以下保留2个主成分的结果中有具体逆标准化过程。
px0=t1%*%α1 #求x0的预测值矩阵
E1=x0-px0 #求x0的残差矩阵
py0=t1%*%β1 #求y0的预测值矩阵
F1=y0-py0 # #求y0的残差矩阵  
m2=t(E1)%*%F1%*%t(F1)%*%E1 #（3）用残差阵E1和F1代替x0和y0重复以上步骤。
eigen(m2)
w2=eigen(m2)$vectors[,1]
w2
v2=t(F1)%*%E1%*%w2/sqrt(as.matrix(eigen(m2)$values)[1,])
v2
t2=E1%*%w2
t2
u2=F1%*%v2
u2
α2=inv(t(t2)%*%t2)%*%t(t2)%*%E1 #也可由t(E1)%*%t2/norm(t2,'2')^2算得α2
β2=inv(t(t2)%*%t2)%*%t(t2)%*%F1 #也可由t(F1)%*%t2/norm(t2,'2')^2算得β2
α2
β2
library("pls")
pls1=plsr(y0~x0,ncomp=2,validation='LOO',jackknife=T) #以下为R中pls包运算结果，显示回归结果(包括预测值误差平方和PRESS与变异解释度)，与上述纯算法结果进行对比和补充，
summary(pls1) #其中对于解释变量潜变量T1对应变量y的总变异解释的比例为chins(23.26%)、situps(35.06%)和jumps(4.14%)等价于SAS中对y的综合结果20.9447≈mean(23.26%,35.06%,4.14%)四舍五入造成的。2 comps列显示的为引入第二解释变量潜变量后的对应变量y的总变异解释的比例。
coef(pls1) #以应变量situps为例得situps关于各自变量的回归方程（*表示标准化）：situps*=-0.13846688weight*-0.52444579waist*-0.08542029pulse* 据此标准化回归方程可以推导出原始变量y与x的回归方程:(situps-mean(situps))/sd(situps)=-0.13846688*(weight-mean(weight))/sd(weight)-0.52444579*(waist-mean(waist))/sd(waist)-0.08542029*(pulse-mean(pulse))/sd(pulse)——>situps=sd(situps)[-0.13846688*(weight-mean(weight))/sd(weight)-0.52444579*(waist-mean(waist))/sd(waist)-0.08542029*(pulse-mean(pulse))/sd(pulse)]+mean(waist)
sd(y[,2])*-0.1384668393/sd(x[,1]) #weight的回归系数
sd(y[,2])*-0.52444579/sd(x[,2]) #waist的回归系数
sd(y[,2])*-0.08542029/sd(x[,3]) #pulse的回归系数
sd(y[,2])*(-0.13846688*-mean(x[,1])/sd(x[,1])+-0.52444579*-mean(x[,2])/sd(x[,2])+-0.08542029*-mean(x[,3])/sd(x[,3]))+mean(y[,2]) #原始变量y与x的回归方程截距
model="SITUPS=612.56712-0.35088WEIGHT-10.24768WAIST-0.74122PULSE——耶！与SAS给出的结果完全一致。"
model
jack.test(pls1) #即对coef(pls1)生成的系数进行假设检验
scores(pls1) #即求第一解释潜变量的得分向量t1=x0%*%w1和第二解释变量潜变量的得分向量t2=E1%*%w2
loadings(pls1) #即求α1
plot(pls1)
validationplot(pls1) #validationplot()函数可以画出PLS模型在不同主成分数下对应的RMSEP(由留一交叉验证法算得的均方预测误差根)
predict(pls1) #即求py0=t1%*%β1
#关于决定系数算法还需研究