Betweenness Centrality的快速计算

      社交或是其他网络通常可以用图来表示，即G=(V,E)，其中V代表图中所有节点的集合，E代表图中所有边的集合。本文讨论的是无向图。我们先对图中一些基本概念的表示如下：

n	节点的个数
m	边的条数
w(s,t)	节点s,t之间边的权重。对于无向无权重图，所有的w(s,t) = w(t,s) =1
dG(s,t)	图G中两节点s,t之间最短路径的长度，即为这条最短路径上所有边的权重之和。同时dG (s,s)=0，无向图中dG (s,t) = dG (t,s)
σst	图G中两节点s,t之间最短路径的条数。同时σss =1，无向图中σst =σts
σst(v)	图G中两节点s,t之间的所有最短路径中经过节点v的条数
δst(v)	即σst(v)/σst，表示点对s、t对节点v的pair-dependency
Ps(t)	从节点s到节点t的最短路径上，节点t的前哨节点集。若v∈Ps(t)，则表示从节点s到节点t的某条最短路径上，最后一步是通过v到达t的

        图中各个节点的重要性可以通过节点的中心性(Centrality)来衡量。在不同的网络中往往采用了不同的中心性定义来描述网络中节点的重要性。下面是一些基于最短距离度量节点中心性的方法：

        可以看到，closeness centrality考虑的是该节点到其他各节点最短路径的长度之和；graph centrality考虑的是该节点到离自己最远的节点的最短路径的长度；stress centrality考虑的是该节点出现在其他两节点之间的最短路径上的次数；而本文讨论的betweenness centrality考虑的是该节点出现在其他两节点之间的最短路径上的比率。

       定理：节点v出现在了节点s、t之间的某条最短路径上当且仅当d_G(s,t) = d_G(s,v) + d_G(v,t)

        点对s、t对节点v的pair dependency为δ_st(v) =σ_st(v)/σ_st；不妨将pair-dependency理解是对节点v重要性的一种度量，试想如果δ_st(v)等于1，那么意味着节点s、t之间每条最短路径都得经过节点v。如果从图中撤掉节点v，那么节点s、t之间最短路径的长度就会增加。pair-dependency中的分子σ_st(v)可以通过下式得到：

        所以如果结点v在节点s、t之间的某一条最短路径上，那么δ_st(v) = σ_st(v)/σ_st = σ_sv*σ_vt /σ_st。得到了pair-dependency，通过下式计算betweenness centrality：

        由此，betweenness centrality的计算只要分为两步：

        第一步：计算各个点对之间最短路径的长度和条数，用于计算pair-dependencies；

        第二步：对于每个节点，累积属于自己的pair-dependencies。

        实际中这两步是交替进行的。对于每个节点s，计算该结点到其他节点的最短路径和条数，记录最短路径上每个节点的前哨节点，并按离源点s由远及近的方式积累每个点的pair-dependencies。

 

第一步：计算最短路径的长度和条数

        计算各个点对之间最短路径的长度和条数可以使用图的遍历算法。其中BFS和Dijkstra算法都能求单源最短路径，过程都是从队列中取出一节点作为当前节点，再遍历当前节点的相邻结点，把他们标记为已搜索，放进队列中。

        对于P_s(v)的定义 P_s(v) = { u∈V : (u,v)∈E , d_G(s,v) = d_G(s,u) + w(u,v) }，我们可以得到下式：

        两节点s,v之间最短路径的条数等于节点s到各个v的前哨节点的最短路径的条数之和。利用BFS求单源最短路径时，则很容易得到节点v的所有前哨节点：如果节点u的相邻结点中包含节点v，且d_G(s,u) + w(u,v) = d_G(s,v) 或者当前d_G(s,v) = -1(表示节点v之前未被搜索到过)，那么节点u就是节点v的一个前哨节点。

        给定一个源点s，对于有向图可以在O(m+n log n)的时间内，计算s到其他个点的σ_sx和d_G(s,x)。对于无向图，这个时间是O(m)。计算一个图G中的所有σ_xx和d_G(x,x)，有向图需要时间O(mn +n² log n)，无向图需要时间O(mn)。

 

第二步：累积各个点的Pair Dependencies

         节点s对节点v的依赖度(dependency)表示为δ_s· (v):

        如果节点s与节点v之间只有一条最短路径，且节点v是节点w的前哨节点，那么

        一般的，节点s与节点v之间有多条最短路径，则上式变为：

        前一种情况假设节点s与节点v之间只有一条最短路径，理解起来比较简单。下面我们来证明第二种比较一般的情况。在证明之前先定义δ_st(v,e) =σ_st(v,e)/σ_st，其中σ_st(v,e) 表示图G中两节点s,t之间的所有最短路径中经过节点v和边e的条数。则

        其中可能较难理解的是第二个等号，我的理解是若节点v在两节点s,t之间的某条最短路径上，那么一定存在节点w使v∈P_s(w)，当然有可能w就是t。同时我们可以得到：

        对于t!=w的情况，σ_st(w)/σ_st表示节点w在两节点s,t之间的某条最短路径上，同时σ_sv/σ_sw表示该路径是通过节点v到达的节点w，所以(σ_sv/σ_sw)*( σ_st(w)/σ_st)表示的是节点w跟其前哨节点v都在两节点s,t之间的某条最短路径上。根据以上两式我们得到：

实现

        无向图中计算Betweenness Centrality的伪代码：

        可以证明，在无向图中，该算法的时间复杂度是O(nm)，所需的空间是O(n+m)。

 

        Betweenness Centrality 计算的详细介绍参见《A Faster Algorithm for Betweenness Centrality》，上述伪代码的Python实现参见 BetweennessCentrality.py。

        转自我的博客：http://www.datalab.sinaapp.com/