四元数和欧拉角

四元数在unity中做旋转， 主要的理论是：

象在四元数和 空间转动条目中详细解释的那样，非零四元数的乘法群在R3的取实部为零的 拷贝上以共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）的共轭作用，若实部为cos(t），是一个角度为2t的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：

非奇异表达（和例如欧拉角之类的表示相比）

比 矩阵更紧凑（更快速）

单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。

所有单位四元数的集合组成一个三维球S3和在乘法下的一个群（一个 李群）。S3是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO（3,R）的双面覆盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群S3和SU（2）同构，SU（2）是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令A为形为a + bi + cj + dk的四元数的集合，其中a,b,c和d或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合A是一个环，并且是一个格。该环中存在24个四元数，而它们是 施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。

以矩阵表示四元数

有两种方法能以矩阵表示四元数，并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。

第一种是以二阶复数矩阵表示。若 h = a + bi + cj + dk 则它的复数形式为：

<math>\begin a-di & -b+ci \\ b+ci & \;\; a+di \end</math>

这种表示法有如下优点：

所有复数 (c = d = 0) 就相应于一个实矩阵。

四元数的绝对值的平方就等于矩阵的行列式。

四元数的共轭值就等于矩阵的共轭转置。

对于单位四元数 (|h| = 1） 而言，这种表示方式给了四维球体和SU（2）之间的一个同型，而后者对于量子力学中的自旋的研究十分重要。（请另见 泡利矩阵）

第二种则是以四阶实数矩阵表示：

<math>\begin\;\;a&-b&\;\;d&-c\\ \;\;b&\;\;a&-c&-d\\-d&\;\;c&\;\;a&-b\\ \;\;c&\;\;d&\;\;b&\;\;a\end</math>

其中四元数的共轭等于矩阵的转置。

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中文名称：

欧拉角

英文名称：

Euler angles

定义：

构件在三维空间中的有限转动，可依次用三个相对转角表示，即进动角、章动角和自旋角，这三个转角统称为欧拉角。